Mathématiques élémentaires, (6 heures)
Sur les côtés d’un triangle $ABC$, pris comme diagonales, on construit, dans le plan du triangle, les carrés $CPBP’$, $AQCQ’$, $BRAR’$. Les notations sont choisies de telle sorte que les sens de parcours, marqués par l’ordre indiqué pour les sommets, correspondent au sens de rotation $ABC$.
I. On considère la figure constituée par l’ensemble des neufs points $A$, $B$, $C$, $P$, $Q$, $R$, $P’$, $Q’$, $R’$, et par les segments qui ont pour extrémités deux quelconques (...)

Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures)
I. On propose de déterminer un nombre, $n$, de deux chiffres, tel que si l’on intercale entre les deux chiffres $1$, $2$, ... $p$ ... zéros on obtienne des nombres $n_1$, $n_2$, ..., $n_p$, ... tous divisibles par $n$.
Examiner, pour les diverses solutions obtenues, la nature du nombre décimal illimité dont la fraction génératrice a come dénominateur $n_p$, et comme numérateur le premier chiffre (à gauche) de $n$.
Démontrer qu’il y a, en général, une (...)

Mathématiques (4 heures)
Soient deux axes de coordonnées rectangulaires $Ox$, $Oy$, et deux points $A$ et $A’$ d’abscisses $\alpha$ et $-\alpha$ donnés sur $Ox$.
1. Former l’équation générale des courbes du second degré $(C)$ admettant $Ox$ pour axe et les points $A$ et $A’$ pour sommet.
2. Chercher l’équation différentielle à laquelle satisfont les courbes $(C’)$ ainsi définies : la tangente en chaque point d’une courbe $(C’)$ est perpendiculaire à la tangente en ce point à la courbe $(C)$ qui y (...)

Arithmétique et Algèbre (2 heures).
Étant donnés les deux nombres $u=1+\sqrt2$, $v=1-\sqrt2$, on peut poser
$$ \beginarrayll u^n &= a_n+b_n\sqrt2\ v^n &= a_n-b_n\sqrt2 \endarray$$
où $a_n$ et $b_n$ sont des nombres entiers positifs. Démontrer que, lorsque l’exposant $n$ augmente indéfiniment, les entiers $a_n$ et $b_n$ augmentent indéfiniment, et le rapport $\dfraca_nb_n$ tend vers $\sqrt2$. Démontrer que $u^n$ diffère d’un entier d’un nombre qui tend vers zéro. Démontrer que (...)

Classe de Mathématiques (6 heures).
On considère les hyperboles qui ont un foyer donné $F$, qui passent par un point donné $A$ et dont une asymptote est parallèle à une direction donnée $D$.
1. Démontrer que la directrice relative au foyer $F$ passe par l’un ou l’autre de deux points fixes que l’on construira.
(Dans tout le problème, on n’envisagera que la famille des hyperboles $[H]$ pour lesquelles la directrice passe par l’un des deux points trouvés ; soit $I$ ce point)
Prouver que le lieu du (...)

1e Série, pour entrer en 1e Année (1 heure).
I. Une mère achète deux pièce de toile de même qualité, dont l’une a 7 m. 80 de plus que l’autre et qui coûtent ensemble 177 fr. 45. Avec la plus petite, elle peut faire 5 chemises, revenant chacune à 13 fr. 65 pour le prix de la toile seulement. Calculer : 1° la longueur de chaque pièce ; 2° le prix du mètre de toile ; 3° combien on pourra faire de chemises avec la plus grande pièce ; 4°la longueur de toile nécessaire à la confection d’une chemise.
II. Une (...)

1re Série A et B, pour entrer en Sixième (1 heure 1/2).
I. Un cultivateur a vendu 36 sacs de blé à 76 fr. 50 le sac et 25 sacs d’avoine à 56 fr. 80 le sac. Sur le produit de cette vente, il achète d’abord 5 sacs d’engrais à 54 fr. 80 l’un. Avec le reste, il achète, à 0 fr. 60 le mètre carré, un terrain rectangulaire de 32 m. 50 de largeur.
Calculer : la surface de ce terrain ; sa longueur.
II. Un père a acheté une bicyclette à chacun de ses trois fils. La deuxième bicyclette et la troisième valent (...)