1923

 

 

  • Agrégation des Sciences mathématiques 1923

    Mathématiques élémentaires, (6 heures)
    Sur les côtés d’un triangle $ABC$, pris comme diagonales, on construit, dans le plan du triangle, les carrés $CPBP’$, $AQCQ’$, $BRAR’$. Les notations sont choisies de telle sorte que les sens de parcours, marqués par l’ordre indiqué pour les sommets, correspondent au sens de rotation $ABC$.
    I. On considère la figure constituée par l’ensemble des neufs points $A$, $B$, $C$, $P$, $Q$, $R$, $P’$, $Q’$, $R’$, et par les segments qui ont pour extrémités (…)

  • Agrégation des Sciences Mathématiques des jeunes filles 1923

    Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures)
    I. On propose de déterminer un nombre, $n$, de deux chiffres, tel que si l’on intercale entre les deux chiffres $1$, $2$, ... $p$ ... zéros on obtienne des nombres $n_1$, $n_2$, ..., $n_p$, ... tous divisibles par $n$.
    Examiner, pour les diverses solutions obtenues, la nature du nombre décimal illimité dont la fraction génératrice a come dénominateur $n_p$, et comme numérateur le premier chiffre (à gauche) de $n$.
    Démontrer qu’il y a, en (…)

  • Certificat d’aptitude (E. S. des J. F.) 2e Partie-Sciences

    Mathématiques (4 heures)
    Soient deux axes de coordonnées rectangulaires $Ox$, $Oy$, et deux points $A$ et $A’$ d’abscisses $\alpha$ et $-\alpha$ donnés sur $Ox$.
    1. Former l’équation générale des courbes du second degré $(C)$ admettant $Ox$ pour axe et les points $A$ et $A’$ pour sommet.
    2. Chercher l’équation différentielle à laquelle satisfont les courbes $(C’)$ ainsi définies : la tangente en chaque point d’une courbe $(C’)$ est perpendiculaire à la tangente en ce point à la (…)

  • Certificat d’aptitude (E. S. des J. F.) ENS de Sèvres

    Arithmétique et Algèbre (2 heures).
    Étant donnés les deux nombres $u=1+\sqrt2$, $v=1-\sqrt2$, on peut poser
    $$ \beginarrayll u^n &= a_n+b_n\sqrt2\ v^n &= a_n-b_n\sqrt2 \endarray$$
    où $a_n$ et $b_n$ sont des nombres entiers positifs. Démontrer que, lorsque l’exposant $n$ augmente indéfiniment, les entiers $a_n$ et $b_n$ augmentent indéfiniment, et le rapport $\dfraca_nb_n$ tend vers $\sqrt2$. Démontrer que $u^n$ diffère d’un entier d’un nombre qui tend vers zéro. Démontrer que (…)

  • Concours général des Lycées et Collèges

    Classe de Mathématiques (6 heures).
    On considère les hyperboles qui ont un foyer donné $F$, qui passent par un point donné $A$ et dont une asymptote est parallèle à une direction donnée $D$.
    1. Démontrer que la directrice relative au foyer $F$ passe par l’un ou l’autre de deux points fixes que l’on construira.
    (Dans tout le problème, on n’envisagera que la famille des hyperboles $[H]$ pour lesquelles la directrice passe par l’un des deux points trouvés ; soit $I$ ce point)
    Prouver (…)

  • Examens des bourses des Lycées et Collèges de jeunes filles

    1e Série, pour entrer en 1e Année (1 heure).
    I. Une mère achète deux pièce de toile de même qualité, dont l’une a 7 m. 80 de plus que l’autre et qui coûtent ensemble 177 fr. 45. Avec la plus petite, elle peut faire 5 chemises, revenant chacune à 13 fr. 65 pour le prix de la toile seulement. Calculer : 1° la longueur de chaque pièce ; 2° le prix du mètre de toile ; 3° combien on pourra faire de chemises avec la plus grande pièce ; 4°la longueur de toile nécessaire à la confection d’une (…)

  • Examens des bourses des Lycées et Collèges de Garçons

    1re Série A et B, pour entrer en Sixième (1 heure 1/2).
    I. Un cultivateur a vendu 36 sacs de blé à 76 fr. 50 le sac et 25 sacs d’avoine à 56 fr. 80 le sac. Sur le produit de cette vente, il achète d’abord 5 sacs d’engrais à 54 fr. 80 l’un. Avec le reste, il achète, à 0 fr. 60 le mètre carré, un terrain rectangulaire de 32 m. 50 de largeur.
    Calculer : la surface de ce terrain ; sa longueur.
    II. Un père a acheté une bicyclette à chacun de ses trois fils. La deuxième bicyclette et la (…)

 

 

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