1re Série A et B, pour entrer en Sixième (1 heure 1/2).

I. Un cultivateur a vendu 36 sacs de blé à 76 fr. 50 le sac et 25 sacs d’avoine à 56 fr. 80 le sac. Sur le produit de cette vente, il achète d’abord 5 sacs d’engrais à 54 fr. 80 l’un. Avec le reste, il achète, à 0 fr. 60 le mètre carré, un terrain rectangulaire de 32 m. 50 de largeur.

Calculer : la surface de ce terrain ; sa longueur.

II. Un père a acheté une bicyclette à chacun de ses trois fils. La deuxième bicyclette et la troisième valent ensemble 900 francs ; la troisième et la première coûtent ensemble 750 francs ; la première et la seconde ensemble sont payées 650 francs. Quel est le prix de chaque bicyclette ?

2e Série A et B, pour entrer en Cinquième (1 heure 1/2).

I. Un marchand achète 60 000 kilogrammes de houille qu’il paye 7 francs les 100 kilogrammes en gare de départ. Le transport lui coûte 0 fr. 015 par 100 kilogramme et par kilomètre, et il se trouve à 250 kilomètres de la gare expéditrice. De plus le camionnage à l’arrivée lui revient à 1 fr. 50 les 1 000 kilogrammes. Combien doit-il revendre le sac de 50 kilogrammes de houille pour réaliser sur son achat un bénéfice de 660 francs ?

II. Deux ouvriers ont travaillé, le premier pendant 37 jours, le second pendant 25 jours, dans la même ferme. Le premier, qu gagne 2 francs de plus par jour que l’autre, a reçu en tout 218 francs de plus que le second. Quel est le gain journalier de chaque ouvrier ?

6e Série C, pour entrer en Première C (2 heures).

I. Dans un triangle \(ABC\), l’angle \(A\) surpasse de 90° l’angle \(C\).

1. Démontrer que l’angle \(C\) est inférieur à 45°.
2. Démontrer que la tangente \(BH\) au cercle circonscrit au triangle \(ABC\) est en même temps hauteur du triangle.
3. Démontrer que \(BH\) est moyen proportionnel entre \(HA\) et \(HC\).
4. Démontrer que, si on appelle \(2R\) le dianmètre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\), on a :
   

   $$4R^2=AB^2+AC^2$$

(Une figure montre le point \(H\) sur le prolongement du côté \(AC\))

II. La base d’un rectangle surpasse de 20 mètres sa hauteur. On diminue la hauteur de 10 mètres et l’on augmente la base de 15 mètres ; la surface du nouveau rectangle est inférieure à la surface primitive de \(\alpha\) mètres carrés. Calculer les dimensions du rectangle donné.

Limite de \(\alpha\) pour que le problème soit possible.

6e Série D, pour entrer en Première C (2 heures).

I. Dans un triangle \(ABC\) la bissectrice de l’angle \(A\) rencontre le côté \(BC\) en un point \(D\). Évaluer les segments \(BD\) et \(DC\) en fonction des côtés \(a\), \(b\), \(c\) du triangle.

On projette \(AD\) en \(AE\) et \(AF\) sur \(AC\) et sur \(AB\). On pose \(AD=x\), \(AE=AF=y\). En considérant successivement les triangles \(ADC\) et \(ADB\), établir deux relations entre les données \(a\), \(b\), \(c\) et les inconnues \(x\) et \(y\). \’Eliminer \(x\) pour avoir \(y\) ; on constatera que la valeur de \(y\) ne dépend que des quantités \(a\) et \(b+c\). En posant ensuite \(a+b+c=2p\), on pourra écrire

$$y=\frac{2p(p-a)}{b+c}$$

II. Soit \(I\) le centre du cercle inscrit au triangle \(ABC\).

Établir les relations

$$\frac{DI}{a}=\frac{IA}{b+c}=\frac{AD}{2p}$$

En appelant \(G\) le point de contact du cercle inscrit avec le côté \(AC\), et en utilisant la formule connue \(AG=p-a\), retrouver l’expression de \(y\) obtenue ci-dessus.