1e Série, pour entrer en 1e Année (1 heure).

I. Une mère achète deux pièce de toile de même qualité, dont l’une a 7 m. 80 de plus que l’autre et qui coûtent ensemble 177 fr. 45. Avec la plus petite, elle peut faire 5 chemises, revenant chacune à 13 fr. 65 pour le prix de la toile seulement. Calculer : 1° la longueur de chaque pièce ; 2° le prix du mètre de toile ; 3° combien on pourra faire de chemises avec la plus grande pièce ; 4°la longueur de toile nécessaire à la confection d’une chemise.

II. Une personne perd d’abord la moitié de sa fortune, ouis le tiers de cette même fortune. Il lui rest alors le neuvième de ce qu’elle a perdu plus 28 000francs. Quelle était la valeur de sa fortune ?

2e Série, pour entrer en 2e année (1 heure 1/2).

I. Un négociant achète un fonds de commerce. Le bénéfice de la première année est égale au \(\frac{3}{20}\) du prix d’achat ; le bénéfice de la seconde année est égal aux \(\frac{4}{3}\) de celui de l’année précédente. La troisième année, le négociant perd 2 500 francs.À la fin de la troisième année, le bénéfice net total pour les trois années est de 39 500 francs. Combien le négociant a-t-il acheté son fonds de commerce ?

II. Calculer l’excès de l’unité sur la fraction \(\frac{8}{11}\).

On ajoute 5 à chacun des deux termes de cette fraction (on remarquera que la différence des deux termes ne change pas) ; calculer l’excès de l’unité sur la fraction ainsi obtenue. dire d’après cela si la fraction \(\frac{8}{11}\) augmente ou diminue lorsqu’on ajoute un même nombre à ses deux termes.

3e Série, pour entrer en 3e année (1 heure 1/2).

I. On a acheté une pièce d’étoffe pour 1 350 francs et une pièce de doublure pour 522 francs.

Le prix du mètre d’étoffe est triple du mètre de doublure et la pièce de doublure contient 8 mètres de plus que la pièce d’étoffe.

On demande le prix du mètre de chaque tissu et la longueur de chaque pièce.

II. Expliquer que si en divisant deux nombres entiers \(a\) et \(b\) par un troisième nombre entier, les restes des deux divisions sont égaux, la différence entre les deux nombres \(a\) et \(b\) est divisible par ce troisième nombre.

Application. — On déduit d’un nombre entier d’autres nombres entiers soit en intervertissant les chiffres d’une manière quelconque, soit en intercalant des zéros parmi les chiffres.

Montrer que la différence entre deux de ces nombres est toujours divisible par 9.

4e Série, pour entrer en 4e année (1 heure 1/2).

I. 1° Un triangle est-il isocèle si une hauteur est en même temps une médiane ?

Ou bien :

Si la bissectrice d’un angle est en même temps hauteur relative au côté opposé à cet angle ?

2° On suppose que dans un triangle \(ABC\), la bissectrice \(AD\) de l’angle \(BAC\) est en même temps médiane relaticve au côté \(BC\).

On prolonge \(AD\) d’une longueur \(DA’\) égale à \(AD\) et on mène la droite \(CA’\). Démontrer que les deux triangles \(ADB\) et \(A’DC\) sont égaux.

En conclure que le triangle \(ACA’\) est isocèle, et que le triangle \(ABC\) lui-même est isocèle.

II. Une sphère de cuivre pèse 500 grammes ; on ne sait pas si cette sphère est pleine ou creuse. Son poids aooarent dans l’eau est de 428 grammes. On demande :

1. De calculer le volume de la sphère ;
2. De dire si elle est pleine ou creuse.

La densité du cuivre est 8,8. On énoncera très correctement le principe de physique que l’on applique.

5e Série, pour entrer en 5e année (1 heure 1/2).

I. On donne un angle \(XOY\) et 2 segments de droite de longueurs \(a\) et \(b\). Construire un point situé à l’intérieur de l’angle, à la distance \(a\) de \(OX\) et à la distance \(b\) de \(OY\).

\(A\) étant un tel point, on mène la droite \(OA\). Démontrer que le rapport des distances de tout point de cette croite aux deux côtés \(OX\) et \(OY\) de l’angle est égal à \(\frac{a}{b}\).

II. Réflexion de la lumière. — Miroirs plans.