THÈMES : ARITHMETIQUE, NUMERATION, PROBABILITES

ÉNONCÉ

Des bulles de couleurs

Dans un très grand récipient contenant de l’eau, on observe trois sortes
de bulles colorées, les unes sont formées d’un gaz bleu, d’autres d’un gaz
vert, la troisième catégorie d’un gaz jaune.

Ces bulles peuvent se cogner.

• Soit les deux bulles sont de la même couleur, il ne se passe rien, elles
  repartent chacune de leur côté.
• Soit elles sont de couleurs différentes, tout dépend alors de leurs
  couleurs respectives :
  • Si une bleue rencontre une verte, elles disparaissent toutes les deux
    et donnent naissance immédiatement à quatre bulles vertes.
  • Si une bulle jaune et une bulle bleue se cognent, elles disparaissent
    toutes les deux et donnent naissance immédiatement à deux bulles
    vertes.
  • Si la rencontre s’opère entre une jaune et une verte, elles disparaissent
    et donnent naissance immédiatement à trois bulles vertes.

1. On a dans le récipient deux bulles jaunes, une verte, deux bleues.

Ecrire les états possibles du système des bulles après une seule rencontre.
Si les rencontres se font au hasard, y a-t-il plus de deux chances sur trois
qu’il y ait au moins trois bulles vertes après cette unique rencontre ?

2. On suppose maintenant que, la composition en bulles dans le récipient,
est telle qu’à un moment donné, la différence \(n_v-n_j\) où \(n_v\) est le nombre
de bulles vertes et \(n_j\) celui de bulles jaunes est égal à l’entier d.

a) Il se produit une nouvelle rencontre, que devient ce nombre ?

b) Au début de l’observation, on a dans le récipient 65 bulles jaunes, 26
bulles vertes et 35 bulles bleues.

Pourra-t-on après un nombre fini de rencontres, avoir autant de vertes
que de jaunes ?
Si oui en combien de rencontres au minimum ? au maximum ?
Même question en enlevant dès le début de l’observation une bulle jaune.

3. On suppose que le récipient contient suffisamment de bulles de chaque
couleur pour que les rencontres de tous les types puissent avoir lieu à
l’infini.

Donner tous les gains possibles de bulles vertes après tous les types de
rencontres.
Quelles successions de rencontres donnent un gain de 12 bulles vertes ?
Même question pour un gain de N bulles vertes.