Jean-Pierre Daubelcour et Anne-Marie Marmier [1]

Résumé

L’article présente un petit périple sous le thème de la régularité, conjuguant étude-découverte des objets de l’espace et transformations, à travers deux exemples de construction : le dodécaèdre régulier et les formes cristallines du système cubique. L’existence et l’unicité du polyèdre régulier se déduisent de la construction effective, au cours de laquelle on manipule empiriquement des rotations. Dans l’étude des formes cristallines, la régularité est définie via des groupes d’isométrie du cube, et la construction fait découvrir les formes .Après les constructions de Legendre et d’Hadamard, les constructions sont réalisées avec le logiciel GeospaceW. L’objectif est de montrer comment le thème de la régularité des solides et l’informatique introduisent à un espace structuré, initient aux transformations spatiales, conduisent à des méthodes analytiques simples, et sont moteurs de découverte.

Plan de l’article

• Introduction
• CONSTRUCTION DU DODÉCAÈDRE RÉGULIER
  • I. Les préalables à la construction
    • 1. Remarque
    • 2. Comparaison des trièdres
  • II. La construction de Legendre
  • III. La construction d’Hadamard
  • IV. La construction avec geospaceW
    • 1. Construction d’une face pentagone régulier
    • 2 - Construction d’un trièdre régulier \(t = a(bef)\) , dont les faces sont égales à \(\frac{3 \pi} {5}\).
    • 3. Construction des trois pentagones accolés au sommet \(a\) du dodécaèdre
    • 4. Action de \( r_{1}\) et de ses itérés sur les pentagones \(F_{ 2}\) et \( F _{ 3}\)
    • 5 – Action de \(r_{ 2}\) , rotation d’axe celui de \(F_{ 2}\) transformant \(a\) en \(e\)
    • 6. Les douze pentagones réguliers ainsi assemblés de \( F_{ 1}\) à \( F _{12}\) forment un
      polyèdre convexe et compact. Intersection de deux pyramides.

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