Exercices

Exercice 467-1 (Michel Lafond - Dijon)

Se référant à l’exercice 461-1 de Georges Lion et Maurice Starck, Michel Lafond
nous propose le théorème du sphinx (figure ci-dessous) :

Si dans un cercle, AB est une corde de milieu I, et si CD et EF sont deux autres cordes
coupant AB respectivement en K et L avec I milieu de KL, alors :

Aile 1 : Si FC et DE coupent AB respectivement en M et N alors I est milieu de MN.

Aile 2 : Si FD et EC coupent AB respectivement en P et Q alors I est milieu de PQ.

Je n’ai pas essayé de démontrer cette généralisation, mais sans doute, des lecteurs
voudront bien s’attaquer à cette énigme du sphinx, que j’ai trouvée dans un numéro
récent de MATHEMATICS MAGAZINE (Octobre 2005).

Michel Lafond va faire paraître un article sur le sujet dans une revue locale de Bourgogne.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 467-2 (Louis Rivoalan - Rochefort)

La suite de terme général \((cos n)^n \) est -elle convergente ?
La réponse est non. Mais c’est loin d’être évident.
En effet, s’il est facile de montrer que 0 est une valeur d’adhérence, on peut aussi
démontrer que 1, et −1, le sont aussi, ce qui montre que cette suite ne converge pas.
Une question qui reste en suspens : est ce que tout nombre de l’intervalle [−1 ; 1] est
une valeur d’adhérence pour cette suite ?

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 462-4

Dans le BV n°462, Nathalie Chevalarias présentait un outil de
menuisier servant à dessiner des ellipses. Cet outil est constitué
de deux pièces en bois ; l’une de forme carrée dans laquelle
l’artisan a pratiqué deux rainures selon les diagonales ; l’autre
de forme rectangulaire dont les deux sommets d’une largeur
vont pouvoir coulisser dans les rainures. Un crayon est fixé au
milieu de l’autre largeur.
Il faut savoir aussi que la largeur de la pièce rectangulaire vaut
exactement la moitié de la diagonale du carré.
Montrer que le crayon a effectivement dessiné une ellipse
quand la planche rectangulaire a effectué un mouvement
complet ?

Solution de Richard Beczkowski (Dijon)
Autres solutions : Alain Corré (Moulins), Georges Lion (Wallis), Raymond Raynaud (Digne).

Exercice 463-2 (Georges Lion)

Sur C, cercle circonscrit à un triangle ABC, construire le point M dont la droite de Simpson est parallèle à une droite donnée.

Solution de l’auteur
Autres solutions : Alain Corre (Moulins), Albert Marcout (Sainte-Savine), Raymond
Raynaud (Digne).
Jacques Borowczyk (Tours) renvoie à l’article sur la géométrie
élémentaire du triangle dans le plan complexe : J.E. Ofmann – L’enseignement mathématique 1958 (pages 178 - 211).

Exercice 463-3 (Pascale Pombourcq)

Construire un triangle isocèle ABC connaissant la base BC et la longueur de la bissectrice des angles à la base.

Solution de Jacques Borowczyk (IUFM Orléans-Tours) et son erratum paru dans le BV 468
Autres solutions : Miguel Amengual (Mallorca), Alain Corre (Moulins), Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach), Georges Lion (Wallis), Albert Marcout (Sainte-Savine), Raymond Raynaud (Digne), Jean Théocliste (Valence).

Exercice 464-1 (Georges Lion et Maurice Starck)

En le point Q milieu d’une corde [AB] d’un cercle C se coupent deux cordes [UV] et [XY] ; la droite (AB) coupe (UX) en M et (VY) en N. Montrer que Q est aussi le milieu de [MN].

Solution de Marie-Laure Chaillou (Épinay/Orge)
Autres solutions : Alain Corre (Moulins), Michel Lafond (Dijon), Jean Lefort (Witzenheim), Georges Lion (Wallis), René Manzoni (Le Havre), Albert Marcout (Sainte-Savine), Christian Planchon (Marjevols), Raymond Raynaud (Digne), Pierre Renfer (Ostwald), Maurice Stark (Nouméa).

Exercice 464-3 (Jean-Claude Laugier)
Soit un ensemble A de nombres entiers compris entre 1 et 1000 tel qu’aucun élément de A ne soit le double d’un élément de A. Quel est le nombre maximal d’éléments de A ?

Solution de Pierre Samuel (Hossegor)
Autres solutions : Robert Bourdon (Tourgeville) : « Diabolique non ??? − Dans l’Apocalypse, 666 est le symbole de “ La Bête ”. Y a qu’à croire ! », Frédéric De Ligt (Montguyon) qui signale le même nombre de la Bête, Alain Corre (Moulins) et René Manzoni (Le Havre).

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