Exercices

Exercice 457-1, proposé par Jacques BOROWCZYK (Tours)
Enoncé
Soit un triangle ABC. On considère le trapèze rectangle ayant pour sommets les centres \(I _{B}\) et \(I_{ C}\) des cercles ex-inscrits dans les angles B et C et les points de contact avec la droite (BC) de ces cercles.

1. Montrer que le point d’intersection I des diagonales du trapèze est sur la hauteur issue du sommet A.
2. Si D′ désigne le pied de la bissectrice extérieure issue du sommet A, montrer que la droite (D′I) coupe les bases du trapèze en leur milieu.
3. Montrer que dans tout triangle ABC, la hauteur issue du sommet A est moyenne harmonique des rayons des cercles ex-inscrits dans les angles B et C.

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Exercice 457-2, proposé par Madame Fathi DRISSI (Comité de la Régionale Lorraine de l’APMEP)
Enoncé

1. À l’aide du seul compas, construire le centre d’un triangle équilatéral dont on connaît les sommets A, B et C.
2. À l’aide du seul compas, construire un point situé au tiers d’un segment [AB] donné.

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Exercice 457-3, « Olympiades » communiqué par A. OUARDINI
Enoncé
Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus et dans lequel \(AB \ne AC\). Le cercle de diamètre [BC] rencontre les côtés [AB] et [AC] respectivement en M et N.
On note O le milieu du côté [BC]. Les bissectrices des angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{MON}\) se coupent en R. Les cercles circonscrits aux triangles BMR et CNR se rencontreraient-ils en un point du côté [BC] ?

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Solutions

Exercice 451-6
On considère deux nombres entiers (positifs) a et b tels que \(a^2 + 2b\) soit un carré parfait. Mettre \(a ^2 + b \) sous la forme d’une somme de carrés d’entiers. (Maillard et Millet, Classe de Mathématiques)

Solution de Maurice BLANPAIN (Pelves - Régionale de Lille) :

\(a^2 +2b =c^2\) implique \(a^2+b=a^2 +\frac{c^2-a^2}{2}=\frac{a^2 +c^2}{2}=(\frac{c+a}{2})^2 + (\frac{c-a}{2})^2\)

Exercice 451-8
Montrer que tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont l’écriture ne comporte que des 1.

Solution de Maurice BLANPAIN :

Il s’agit d’établir que tout naturel n impair non divisible par 5 a un multiple de la forme :

$$ a_{m} =1 + 10 +10^2 +\ldots +10^{m-1}, m \in \mathbb N ^*$$

Soit \(r_{ i} , i \in \mathbb N \), le reste dans la division de \(10^{i}\) par \(n\).
Comme \(10\) est premier avec \(n\), on peut, en écartant le cas trivial \(n = 1\), introduire \(θ = ord_{n} (10)\), qui est, dans le groupe multiplicatif \(U_{n}\) des éléments inversibles (appelés aussi unités) de l’anneau \(\mathbb Z/n \mathbb Z\), l’ordre de l’élément \(10\) (c’est-à-dire de la classe \(10 + n\mathbb Z)\).
La fonction \(i \to r_{ i } \) étant périodique de période \(θ\) , le reste dans la division par \(n\) de la somme de \( θ \) puissances consécutives de \(10\) ne dépend pas de cette somme. Soit \(r \) ce reste.
Si \(r = 0\) , \(a _{θ}\) répond à la question.
Si \(r > 0\) , les congruences étant de module \(n\), on a pour tout \(k \in \mathbb N^*\)

$$ a_{k \theta} = \sum_{0 \le i \le k-1} ~: \sum_{0 \le j \le \theta -1} \, 10^{i \theta +j} \equiv kr$$

où il reste à choisir \(k\) tel que \(kr \equiv 0\) , le plus petit de ces \(k\) étant \(\frac {1}{r} \mathrm ppcm (r,n)\).
Exemples
1) \( n = 21,\, \theta = 6\) avec \((r_0 ,\ldots , r_5 ) = (1, 10, 16, 13, 4, 19) \) , \(\sum \limits_{0 \le i \le 5 } r_{i} = 63 \) , \( r = 0\) :
\(a_6 = 111 \,111 = 5 291 \times 21 \).
2) \( n = 33, \, \theta= 2\) avec \((r_0 , r_1 ) = (1, 10)\) ,\(\sum \limits_{0 \le i \le 1} r_i = 11\) ,\( r = 11\) : \(\frac{1}{r} \mathrm ppcm (r,n)= 3\),
\(a_{3 \times 2} = 111 \,111 = 3 367 \times 33 \) .

Remarque. L’énoncé plus général où 1 est remplacé par un chiffre quelconque (autre que 0) aurait demandé un surcroît de perspicacité de la part du « solutioniste » consistant à remarquer qu’il suffisait de traiter le cas du chiffre 1.