Exercices

Exercice 460-1
Résoudre l’équation \(x^{3}+3x = a^{3}-\frac{1}{a^3} \) sans avoir recours à la formule de Cardan, c’est-à-dire en la mettant sous une forme particulière.
(Ch. de Comberousse, Cours de Mathématiques 1923).

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Exercice 460-2
Peut-on construire, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, un triangle équilatéral ABC tel que les coordonnées de A, de B et de C soient des nombres entiers ?

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Exercice 460-3
Soit l’équation \(x^2 + 2x − 10^{-10}= 0\). À l’aide d’une calculatrice, trouver, avec la meilleure approximation possible, des valeurs approchées des deux racines.
Guy Canevet (Le calcul scientifique - Que sais-je n^o 1357).

Voici les précisions de l’auteur :
« La racine positive de cette équation peut s’écrire \(x=\sqrt{1+10^{-10}}-1\). C’est un nombre très petit qui vaut environ \(5 \cdot 10^{-11}\) ; or, par son expression, il est obtenu en faisant la différence de deux nombres très voisins, d’une part \(\sqrt{1+10^{-10}}\) et 1 d’autre part. Si l’on travaille avec une machine ne comportant que dix chiffres significatifs, le résultat peut être complètement erroné. Mais on peut remarquer que cette même racine peut s’écrire \(x=\frac{10^{-10}}{1+\sqrt{1+10^{-10}}}\). Dans cette formule, on effectue la division de \(10^{-10}\) par un nombre très voisin de 2 : on travaille donc à précision relative constante, et le résultat est correct. »

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NDLR : Le « Que sais-je » de Guy Canevet aborde beaucoup de questions tant théoriques que pratiques, et, détail important, il est facile et agréable à lire.

Remarque : L’énoncé donné dans le bulletin n^o 460 comportait une erreur. Les lecteurs voudront bien nous en excuser.
Notre collègue Loïc Pomageot (Creil) nous a transmis une solution pour l’équation donnée dans le bulletin n^o 460 : \(x^2 + 2x − 10^{10} = 0\).

Solutions d’exercices du bulletin 457

Exercice 457-1
Soit un triangle ABC. On considère le trapèze rectangle ayant pour sommets les centres \(\textrm{I} _\textrm{B}\) et \(\textrm{I} _\textrm{C}\) des cercles ex-inscrits dans les angles B et C et les points de contact avec la droite (BC) de ces cercles.

1. Montrer que le point d’intersection I des diagonales du trapèze est sur la hauteur issue du sommet A.
2. Si D ′ désigne le pied de la bissectrice extérieure issue du sommet A, montrer que la droite (D ′ I) coupe les bases du trapèze en leur milieu.
3. Montrer que dans tout triangle ABC, la hauteur issue du sommet A est moyenne harmonique des rayons des cercles ex-inscrits dans les angles B et C.

Solution de Miguel Amengual Covas (Cala Figuera, Mallorca, España)

Solution de R. Raynaud (Digne)

Autres solutions : Alain Corrée (Moulins), Jean-Claude Carrega (Lyon), Georges Lion (Mata Utu, Wallis)

Exercice 457-3

Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus et dans lequel AB ≠ AC. Le cercle de diamètre [BC] rencontre les côtés [AB] et [AC] respectivement en M et N. On note O le milieu du côté [BC]. Les bissectrices des angles \( \widehat {BAC}\) et \(\widehat { MON} \) se coupent en R. Les cercles circonscrits aux triangles BMR et CNR se rencontreraient-ils en un point du côté [BC] ?

Solution d’ Alain Corrée (Moulins)

Solution de Georges Lion (Mata Utu, Wallis)

Des solutions de l’exercice 2 seront données dans le Bulletin 461.

Précision  : Dans le Bulletin 458, l’exercice n^o 5, p. 414, « Les désarrois de l’élève Toerless », était proposé par Jean-Pierre Friedelmeyer.