Exercices

Exercice 462-1 Corol’aire n^o 27 – janvier 1997

Résoudre dans \(\mathbb{R } \) le système de quatre équations à quatre inconnues :
\(\left\{ \begin{array}{r c l} x +y +z+ t=0 \\ xy +xz+xt+ yz+ yt+ zt=0 \\ xyz+ xyt+ xzt+ yzt=0 \\ xyzt=0 \end{array} \right.\)

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Exercice 462-2 Claude Marcy (Chatellerault) – Corol’aire n^o 59 – décembre 2004

Pour quelles valeurs de k le coefficient du binôme de Newton
\(\left( \begin{array}{c} 2k-1\\ k\\ \end {array} \right)\) est-il impair ?

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Exercice 462-3 Miguel Amengual Covas (Mallorca)

Soit S le point d’intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs.
Par S on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère.
Montrer que :

1. ce quadrilatère est un parallélogramme,
2. une de ses diagonales passe par S,
3. l’autre diagonale est l’axe radical des deux cercles.

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Exercice 462-4 Nathalie Chevalarias (Saint-Georges Les Baillargeaux) – Corol’aire n^o 63 – décembre 2005

Lors du séminaire de rentrée de l’IREM de Poitiers, le 16 septembre dernier, Nathalie Chevalarias nous a présenté un outil de menuisier servant à dessiner des ellipses.

Cet outil est constitué de deux pièces en bois ; l’une de forme carrée dans laquelle l’artisan a pratiqué deux rainures selon les diagonales ; l’autre de forme rectangulaire dont les deux sommets d’une largeur vont pouvoir coulisser dans les rainures. Un crayon est fixé au milieu de l’autre largeur.
Vous devez savoir aussi que la largeur de la pièce rectangulaire vaut exactement la moitié de la diagonale du carré.
Pourriez-vous montrer simplement que le crayon a effectivement dessiné une ellipse quand la planche rectangulaire a effectué un mouvement complet ?

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Solutions d’exercices du bulletin n^o 460 :

Exercice 460-1
Résoudre l’équation \(x^{3}+3x = a^{3}-\frac{1}{a^3} \) sans avoir recours à la formule de Cardan, c’est-à-dire en la mettant sous une forme particulière.
(Ch. de Comberousse, Cours de Mathématiques 1923).

Solution d’Albert Marcout (Sainte-Savine)
Solutions semblables de Loïc Pomageot (Creil), Georges Lion (Mata Utu - Wallis) et Jean-Claude Carréga (Lyon).

Exercice 460-2
Peut-on construire, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, un triangle équilatéral ABC tel que les coordonnées de A, de B et de C soient des nombres entiers ?

Solution de Bruno Alaplantive (Saint-Jean du Falga)

Remarque : Sur une feuille A4 à petits carreaux, une base horizontale de 30 carreaux sur une hauteur de 26 carreaux rendent, à vue d’œil !, un splendide triangle équilatéral…

NDLR :

1. Formule de Pick :
   « L’aire A d’un polygone de réseau quelconque (sommets de coordonnées entières) est donnée en fonction du nombre de points frontières B et de points intérieurs C par la formule A = B/2 + C − 1. »
   Voir en particulier l’excellent livre de Ian Stewart : Visions géométriques (Bibliothèque « Pour la science » / Belin – 1994), page 99.
2. Les autres solutions transmises utilisent soit les nombres complexes et les systèmes : A. Marcout (Sainte-Savine), J.-C. Carréga (Lyon), J. Chayé (Poitiers), M.A. Covas (Mallorca), R. Vidal (Narbonne), G. Lion (Mata Utu - Wallis), soit la géométrie et la trigonométrie : M. Lahaie-Hitier.

Compléments
Jean-Claude Carréga apporte les précisions suivantes :

1. Même résultat pour un hexagone régulier car, en prenant un sommet sur deux de l’hexagone, on obtient un triangle équilatéral.
2. Même résultat pour un polygone régulier ayant 3n côtés
3. En fait, on peut démontrer que le carré est le seul polygone régulier pouvant avoir tous ses sommets à coordonnées rationnelles dans un repère orthonormé.

Robert Vidal signale une solution géométrique, basée sur la descente infinie, de Jean Brette parue dans le n^o 276 (mars 2000) de la Revue du Palais de la Découverte.

Exercice 460-3
Soit l’équation \(x^2 + 2x − 10^{-10}= 0\). À l’aide d’une calculatrice, trouver, avec la meilleure approximation possible, des valeurs approchées des deux racines.
Guy Canevet (Le calcul scientifique - Que sais-je n^o 1357).

L’énoncé donné dans le bulletin n°460 comportait une erreur. Les lecteurs voudront bien nous en excuser. L’équation proposée par Guy Canevet était celle du texte ci-dessus.

Voici les précisions de l’auteur :
« La racine positive de cette équation peut s’écrire \(x=\sqrt{1+10^{-10}}-1\). C’est un nombre très petit qui vaut environ \(5 \cdot 10^{-11}\) ; or, par son expression, il est obtenu en faisant la différence de deux nombres très voisins, d’une part \(\sqrt{1+10^{-10}}\) et 1 d’autre part. Si l’on travaille avec une machine ne comportant que dix chiffres significatifs, le résultat peut être complètement erroné. Mais on peut remarquer que cette même racine peut s’écrire \(x=\frac{10^{-10}}{1+\sqrt{1+10^{-10}}}\). Dans cette formule, on effectue la division de \(10^{-10}\) par un nombre très voisin de 2 : on travaille donc à précision relative constante, et le résultat est correct. »

NDLR : Le « Que sais-je » de Guy Canevet aborde beaucoup de questions tant théoriques que pratiques, et, détail important, il est facile et agréable à lire.

Notre collègue Loïc Pomageot (Creil) nous a transmis une solution pour l’équation donnée dans le bulletin n^o 460 : \(x^2 + 2x − 10^{10} = 0\). Il utilise les développements limités de et trouve les solutions de l’équation à \(10^{−42}\) près.
Voici la solution qu’il propose en utilisant la calculatrice.