Exercices deci dela du BV 514

Et solutions des exercices du BV 512 : 512-1, 512-2, 512-3, 512-4

Bruno Alaplantive

Exercices

Exercice 514-1 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans

On considère un triangle ABC ; on désigne par A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
Soient M le milieu de [A’C], N le milieu de [B’A] et P le milieu de [C’B].
Soient J le point d’intersection de [B’P] et [C’M], K le point d’intersection de [C’M] et [A’N] et L le point d’intersection de [A’N] et [B’P].
Calculer l’aire $s$ du triangle JKL en fonction de l’aire S du triangle ABC.
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Exercice 514-2 pour nos élèves

A – d’après le concours mathématique du Québec de 1987
Effectuer le produit suivant :

$$ \left( 1 - \dfrac{1}{2^2}\right) \left( 1 - \dfrac{1}{3^2}\right) \left( 1 - \dfrac{1}{4^2}\right) \ldots \left( 1 - \dfrac{1}{2015^2}\right).$$

B – tiré du concours canadien de mathématiques de 2011
Dans un carré magique, les nombres de chaque rangée, de chaque colonne et de chaque diagonale ont la même somme.
Le tableau ci-dessous est un carré magique tel que les nombres $a, b$ et $c$ soient strictement positifs.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \log a & \log b & \log x \\ \hline p & \log y & \log c \\ \hline \log z & q& r \\ \hline \end{array}$$


Exprimer le produit $xyz$ en fonction de $abc$.
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Exercice 514-3 tiré du « livre de ce qui est nécessaire à l’artisan en constructions géométriques »

La construction décrite ci-après propose l’inscription d’un triangle équilatéral dans un pentagone régulier.
ABCDE est un pentagone régulier, F est le milieu de [AB]. G est le centre du cercle de diamètre [FD].
Le cercle de centre F passant par G recoupe ce premier cercle en H et I.
Les droites (DH) et (DI) recoupent le pentagone en J et K.
Le triangle DJK répond à la demande.
Cette construction est-elle exacte ?
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Exercice 514-4 Crux Mathematicorum Mathematical Mayhem 114
Dans le simili escargot de Pythagore ci-contre, les hauteurs relatives aux hypoténuses mesurent une unité.
Les $a_{i}$ désignent les mesures des segments.
Montrer que

$$ a_{0}^2+a_{1}^2+a_{2}^2 + \ldots + a_{n}^2= a_{0}^2a_{1}^2 a_{2}^2 \ldots a_{n}^2$$

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Solutions

Exercice 512-1 Jean-Christophe Laugier – Rochefort

Paul a reçu pour ses étrennes le 1er janvier 2014 une belle montre avec dateur. Mais il a été très désappointé quand, le 1er mars, la montre n’a pas affiché « 1 » comme attendu mais « 29 ». Pour le dateur tous les mois ont 31 jours !
On supposera dans la suite que Paul n’effectue aucune correction sur le dateur.

1) Quand, pour la première fois après le 1er mars 2014, la montre affichera-t-elle une date correcte ?

2) Notons $d(n)$ la date affichée par la montre le 1er janvier de l’an $2014 + n$ ;
donc $d(0) = 1$.
Quelle est la période T de la suite $(d(n))$ ?

3) Quelles sont les années pendant la période [2014 ; 2014 + T] au cours desquelles la montre affichera une date correcte ?

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)
Autres solutions : Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Jean-Yves Hély (Rennes).

Exercice 512-2 Roger Ferrieu – Paris

Que devient la somme

$$ S_{n}= 2+ \dfrac{a+b}{ab}+\ldots + \dfrac{a^n +b^n}{a^n b^n}$$

lorsque n augmente indéfiniment ?

Solution de Bernard Collignon (Coursan)

Autres solutions :Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raymond Heitz (Névez), Odile Simon (La Prénessaye), Raphaël Sinteff (Nancy), Jean-Yves Hély (Rennes).

Remarque
Les valeurs possibles des nombres $a$ et $b$ n’étant pas précisées, les solveurs se sont lancés dans une étude exhaustive fort longue. Nous n’en donnons ici que le début.
Nota
Cet exercice est issu du manuel de Roger Ferrieu, Algèbre et Trigonométrie, classe de mathématiques, conforme aux nouveaux programmes … [1]

Exercice 512-3 Émile Fourrey – Paris pour nos élèves

A – On dispose la suite des nombres impairs en lignes comme suit :

$$ \begin{array}{cl} I_1 &1 \\ I_2 & 3;5\\ I_3 & 7;9;11\\ I_4 & 13;15;17;19\\ \end{array}$$

Prouver que sur chaque ligne, la somme des nombres est égale au cube du rang de cette ligne.

B –

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Diviser le carré ABCD de côté $a$ en trois parties équivalentes (de même aire), de sorte qu’il y ait encore un chemin d’une largeur donnée $c$ conduisant aux trois parties.

La construction est indiquée sur la figure ci-contre.
Prouver son exactitude.

A - Solution de Richard Beczkowski (Chalon sur Saône)

A - Solution d’ Hélène Brion (Clamart)

B - Solution de Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raymond Heitz (Névez), Jacques Chayé (Poitiers), Jean-Yves Hély (Rennes), Odile Simon (La Prénessaye), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon).

Nota

Ces exercices sont issus des deux livres « Récréations arithmétiques » et « Curiosités géométriques », d’Émile Fourrey édités chez Vuibert [2]

Exercice 512-4 Valentin Paubarol – Ampéris

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ABC est un triangle quelconque.

La bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$coupe [BC] en D.
Montrer que $AB . AC = AD^2 + DB . DC.$

Solution de Jean-Yves Hély (Rennes)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Névez), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Jacques Chayé (Poitiers), Raphaël Sinteff (Nancy), Bernard Collignon (Coursan), Daniel Carron (Bruxelles), Michel Blévot (La Réunion), Mihai-Ioan Stoenescu (Bischwiller), Christian Planchon (Aumont-Aubrac).

- Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] de 1935 !

[2] Le livre « Curiosités géométriques » est disponible sur Gallica.