Exercices deci dela du BV 515

Et solutions des 513-1, 513-2, 513-3, 513-4

Bruno Alaplantive

Résumé de l’article

Cet article propose quatre exercices variés. Le premier concerne le découpage d’un quadrilatère. Les deux suivants portent sur les dénombrements de points, intersection et milieu et de la loi de la variable aléatoire construite. Le dernier demande de trouver une approximation du cosinus sur [-$\pi$/2,$\pi$/2] à l’aide d’un polynôme du second degré ou d’un quotient de polynôme du second degré.

Exercices

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Exercice 515-1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach
Puzzle

On donne un quadrilatère convexe ABCD et un point P en son intérieur.
Soient E, F, G, H les milieux des côtés.
On découpe le quadrilatère selon les quatre quadrilatères PEBF, PFCG, PGDH, PHAE.

  • Montrer que, assemblés autrement, ces quatre quadrilatères permettent de constituer un autre quadrilatère a priori non isométrique au premier.
  • Peut-on trouver un point intérieur (des points) tel(s) que le nouveau quadrilatère soit superposable à l’initial ?
  • Discuter de la demande de convexité du quadrilatère initial.

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Exercice 515-2 Daniel Reisz – Auxerre
Il préféra s’adonner aux sciences

Joseph Fourier, lors de son noviciat à l’abbaye de St Benoit sur Loire (1787 - 1789), s’est posé ce « petit problème » :
Comment disposer 17 droites pour avoir 101 points d’intersection ?

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Exercice 515-3 Paul-Alain Bonvert – Alfa du Ginseng
Dénombrements et probabilités

Dans le plan muni d’un repère on appelle point entier tout point dont les deux coordonnées sont entières.
Cinq points entiers étant donnés, on considère les milieux de tous les segments d’extrémités deux quelconques de ces points.
Déterminer la loi de la variable aléatoire X qui compte le nombre de milieux entiers.

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Exercice 515-4 Michel Lafond – Dijon
Approximations de cosinus

Soit l’intervalle $I= \left[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]$.

1) Trouver deux réels $a$, $b$ tels que pour tout $x$ de $I$, $|a+bx^2 - \cos (x)|\leq 0,03$.

2) Trouver trois réels $a$, $b$, $c$ tels que pour tout $x$ de $I$, $\left| \dfrac{a+bx^2}{1+cx^2}- \cos (x)\right| \leq 0,01$.

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Solutions

Exercice 513-1 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans
(d’après le rallye mathématique de la Sarthe)

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On partage un hexagone régulier en cinq morceaux, et en les juxtaposant, on réalise un carré de la manière suivante :

Expliquer comment sont obtenus les points L, M et N.

Solution de Michel Lafond (Dijon)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raymond Heitz (Névez).

Exercice 513-2 Bill Sands – Calgary
(tiré de Crux Mathematicorum 37-1)

On suppose que $b$ est un nombre réel positif tel qu’il existe exactement deux entiers strictement compris entre $b$ et $2b$, de même qu’exactement deux entiers strictement compris entre $2b$ et $b^2$ . Trouver toutes les valeurs possibles de $b$.

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Autres solutions : Raymond Heitz (Névez).

Exercice 513-3 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans

Soit $k$ un entier, $k \geq 1$. On considère les polynômes définis par $P_{1}(X) = X - 1$ et pour tout $k \geq 2$

$P_{k}(X)= (X-1)^{k}\times (X+1)^{k-1} \times (X^{2^{1}}+1)^{k-2} \times \ldots \times $

$(X^{2^{j}}+1)^{k-1-j} \times \ldots \times (X^{2^{k-2}}+1) = (X-1)^{k} \times \prod\limits_{j=0}^{k-2}(X^{2^{j}}+1)^{k-1-j}$

Déterminer le degré du polynôme $P_{k}$, et montrer que, sous forme développée, tous ses coefficients sont égaux à $+1$ ou $-1$.

Solution de Jérémy Possamaï (Clermont-Ferrand)
Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Névez), Michel Lafond (Dijon)

Nota
Pour qui s’intéresserait plus avant aux polynômes n’ayant que 0 ou 1 comme coefficients, L.G Vidiani signale la référence suivante : François Morain et Jean-Louis Nicolas, Mathématiques et informatique quatorze problèmes corrigés pour l’enseignement supérieur, Vuibert 1996.
En pages 221-240 on s’intéresse à la zone des zéros de ces polynômes (l’image est d’ailleurs en couverture zone couronne entre deux courbes ressemblant à des cardioïdes). Ce problème exploite l’article de A. M. Pdlyzko et B. Poonen « Zeros of polynomials with 0, 1 coefficients » paru dans L’enseignement mathématiques n°39 (1993) pages 317-348.

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Exercice 513-4 Michel Lafond – Dijon
Approximation rationnelle (transmis par Vincent Thill)
Une calculatrice ou un logiciel (ici Xcas) permet de constater que $\dfrac{1735}{4349} $ est une bonne approximation de $\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ .
Comment la fraction $\dfrac{1735}{4349} $ s’obtient-elle ?

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)
Autres solutions : Michel Lafond (Dijon), Vincent Thill (Migennes).

Remarque
Michel Lafond indique que le nombre de chiffres exacts fourni par cet algorithme des fractions continues est environ le double de celui du dénominateur de la fraction obtenue. Ici : $2 \times 4 = 8$.
Les calculs manuels sont relativement pénibles à cause des inversions, mais les logiciels comme MAPLE donnent instantanément les résultats : (voir fin de la solution).

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)