Exercices de-ci de-là du BV 517

et solutions des 515-1, 515-2, 515-3 et 515-4

Bruno Alaplantive

Résumé de l’article

Quatre exercices nouveaux sont proposés.
Le premier, destiné aux élèves, est constitué de deux questions indépendantes : retrouver les axes d’un repères dont on connait les coordonnées de trois points alignés et résoudre un système avec des logarithmes.
Le second exercice est tiré des Olympiades espagnoles de 2005 et concerne la géométrie sur les diagonales d’un polygone régulier.
Le troisième exercice porte sur le dénombrement d’applications.
Le dernier est une équation diophantienne sur des inverses de carrés.
Les quatre exercices du BV 515 ont une solution publiée dans ce BV. Le premier concernait le découpage d’un quadrilatère. Les deux suivants portaient sur les dénombrements de points, intersection et milieu et de la loi de la variable aléatoire construite. Le dernier demandait de trouver une approximation du cosinus sur $[- \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$ à l’aide d’un polynôme du second degré ou d’un quotient de polynômes du second degré.

Exercices

Exercice 517-1 Pour nos élèves

A – Dans un repère inconnu sur feuille blanche, on donne trois points non alignés A, B, C et leurs coordonnées.
Retrouver les axes et le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

B – Déterminer tous les couples de réels strictement positifs qui solutions du système

$$ \left\{ \begin{array}{l}a +\ln (a) = b \\ b +\ln (b) = a \end{array} \right. $$

voir l’article où est publiée une solution

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Exercice 517 – 2 (Tiré des olympiades mathématique espagnoles 2005).

On dit qu’un triangle est multiplicatif si le produit des longueurs de deux de ses côtés est égal à la longueur du troisième côté.
On considère un polygone régulier $A_1 A_2 \ldots A_n$ ($n ≥ 4$ ) à $n$ côtés, tous de longueur 1.
Les $n - 3$ diagonales issues de $A_1$ partagent le triangle $A_1 A_2 A_n$ en $n - 2$ petits triangles.
Prouver que chacun de ceux-ci est multiplicatif.

voir l’article où est publiée une solution

Exercice 517–3 (Jean-Christophe Laugier – Rochefort) Dénombrement et application.

Dénombrer les applications $f : X \rightarrow X$ ,$X$ ensemble fini de cardinal égal à $n$ ($n ≥ 1$), telles que :
1. Pour un élément $a$ donné de $X$, $f \circ f (x)= a$ pour tout $x$ de $X$.

2. Pour un sous ensemble $B$ de $X$, non vide, de cardinal $p$, $ f \circ f(x) \in B $ pour tout $x$ de $X$.

voir l’article où est publiée une solution de la question 1

voir l’article où est publiée une solution de la question 2

Exercice 517 – 4 (Michel Lafond – Dijon) Équation diophantienne

Résoudre en nombres entiers l’équation

$$ \dfrac{1}{a^2} +\dfrac{1}{b^2} = \dfrac{1}{c^2} $$

voir l’article où est publiée une solution

Solutions

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Exercice 515-1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach
Puzzle

On donne un quadrilatère convexe ABCD et un point P en son intérieur.
Soient E, F, G, H les milieux des côtés.
On découpe le quadrilatère selon les quatre quadrilatères PEBF, PFCG, PGDH, PHAE.

  • Montrer que, assemblés autrement, ces quatre quadrilatères permettent de constituer un autre quadrilatère a priori non isométrique au premier.
  • Peut-on trouver un point intérieur (des points) tel(s) que le nouveau quadrilatère soit superposable à l’initial ?
  • Discuter de la demande de convexité du quadrilatère initial.

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Autres solutions :

Paul-Alain Bonvert (Alfa du Ginseng).

Exercice 515-2 Daniel Reisz – Auxerre
Il préféra s’adonner aux sciences

Joseph Fourier, lors de son noviciat à l’abbaye de St Benoit sur Loire (1787 - 1789), s’est posé ce « petit problème » :
Comment disposer 17 droites pour avoir 101 points d’intersection ?

Solutions

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Névez), Michel Lafond (Dijon), Jean Couzineau (Massy-Palaiseau), Michel Sarrouy (Mende).

Exercice 515-3 Paul-Alain Bonvert – Alfa du Ginseng
Dénombrements et probabilités

Dans le plan muni d’un repère on appelle point entier tout point dont les deux coordonnées sont entières.
Cinq points entiers étant donnés, on considère les milieux de tous les segments d’extrémités deux quelconques de ces points.
Déterminer la loi de la variable aléatoire X qui compte le nombre de milieux entiers.

Solution de Michel Lafond (Dijon)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean Couzineau (Massy- Palaiseau)

Remarque

J’ai reçu des remarques au sujet de cet exercice dont la très mauvaise formulation ne définit pas d’expérience aléatoire, ainsi que le constate Michel Lafond. Reçues pour mon manque de vigilance et transmises à l’auteur.

Exercice 515-4 Michel Lafond – Dijon
Approximations de cosinus

Soit l’intervalle $I= \left[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]$.

1) Trouver deux réels $a$, $b$ tels que pour tout $x$ de $I$, $|a+bx^2 - \cos (x)|\leq 0,03$.

2) Trouver trois réels $a$, $b$, $c$ tels que pour tout $x$ de $I$, $\left| \dfrac{a+bx^2}{1+cx^2}- \cos (x)\right| \leq 0,01$.

Solution de Jean Couzineau (Massy- Palaiseau)
Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques) , Michel Lafond (Dijon)

Remarque Michel Lafond nous soumet l’heuristique de cet exercice : « J’ai lu dans un numéro récent de THE MATHEMATICAL GAZETTE que le mathématicien astronome indien ARYABHATA utilisait comme approximation de $\sin(x)$ la fraction $\dfrac{16x(\pi -x)}{5\pi^2 - 4x(\pi -x)}$ sur $[0, \pi]$ (avec une bonne approximation de $\pi$). Et cela il y plus de 1500 ans !
En effet, l’erreur commise en valeur absolue ne dépasse jamais 0,002.
En prenant $\cos(x) = \sin(\dfrac{\pi}{2} -x)$ on trouve l’approximation $\cos(x) =\dfrac{\pi^2 -4x^2}{\pi^2+4x^2}$ et c’est ce qui m’a donné l’idée de l’exercice ci-dessus. »

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)