Résumé de l’article

Cette rubrique contient les exercices 519-1 (détermination d’un angle), 519-2 (lieux des points images de points d’une parabole), 519-3 (équation du 3ème degré avec paramètre), 519-4 (équation du second degré à coefficients complexes) ; ainsi que les solutions des exercices 517-1 (résolution d’un système non linéaire), 517-2 (recherche de triangles multiplicatifs), 517-3 (problème de dénombrement d’applications) et 517-4 (équation diophantienne).

Exercices

Exercice 519-1 Michel Lafond – Dijon

Dans la figure ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont
perpendiculaires et les segments [AD] et [BC] se coupent en M.
Démontrer que si \(MB = 3 MA\) et \(MD = 5 MC\) alors l’angle AMB mesure 60°.

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Exercice 519-2 Robert March – Paris

\(F\) et \(S\) sont le foyer et le sommet de la
parabole \((P)\)
\(M\) un point de cette parabole.
\(N\) et \(Q\) sont les projetés orthogonaux de \(M\)
respectivement sur la tangente au sommet
et sur l’axe.
\(N’ \) est le symétrique de \(N\) par rapport à \(S\).
La parallèle menée par \(Q\) à \([FN’ ]\) coupe la
tangente au sommet en \(R\).
La parallèle menée par \(R\) à l’axe coupe la
normale en \(M\) au point \(P\).

Montrer que le lieu de \(P\) quand \(M\) décrit la parabole est sa développée.

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Exercice 519-3 Pour nos élèves

A. Prouver que pour tout réel \(k\), l’équation \(x^3 + 4x^2 + 6x + k = 0\) ne peut pas avoir 3
racines réelles distinctes.

B. Dans le solide \(ABCDEF\) ci-contre, \(ABCD\) est un carré de
côté \(c= 3\sqrt{2}\) cm ; les triangles \(BCE\) et \(ADF\) sont équilatéraux.
De plus l’arête \([EF]\) est parallèle à la face \(ABCD\) et \(EF = 2c\).
Calculer le volume de ce solide.

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Exercice 519-4 Paul-Alain Bonvert – Alpha du Ginseng

Dans \(\mathbb{C}\) on considère l’équation (E) : \(z^2 +(a+ib)z + (c+id) =0\).

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) pour que (E)
admette une racine réelle et l’autre complexe.

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Solutions

Exercice 517 – 1 Pour nos élèves.

A – Dans un repère inconnu sur feuille blanche, on donne trois points non alignés \(A\),
\(B\), \(C\) et leurs coordonnées. Retrouver les axes et le repère \(\left( O, \vec{i}, \vec{j}\right)\) .

B – Déterminer tous les couples de réels strictement positifs \((a,b)\) solutions du
système

$$ \left \{ \begin{array}{l} a + \ln (a)=b \\ b+\ln(b) = a \end{array} \right. $$

Solution de L.-G Vidiani (Fontaine les Dijon)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques) , Michel Lafond (Dijon)

Exercice 517 – 2 (Tiré des olympiades mathématique espagnoles 2005).

On dit qu’un triangle est multiplicatif si le produit des
longueurs de deux de ses côtés est égal à la longueur du
troisième côté.
On considère un polygone régulier \(A_1 A_2 \ldots A_n\) (\(n ≥ 4\) ) à \(n\) côtés, tous de longueur 1.
Les \(n - 3\) diagonales issues de \(A_1\) partagent le triangle
\(A_1 A_2 A_n\) en \(n - 2\) petits triangles.
Prouver que chacun de ceux-ci est multiplicatif.

Solution de Raymond Heitz (Névez)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques) , Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Pierre Lapôtre (Calais), Michel Sarrouy (Mende).

Exercice 517–3 (Jean-Christophe Laugier – Rochefort) Dénombrement et
application.

Dénombrer les applications \(f : X \rightarrow X\) ,\(X\) ensemble fini de cardinal égal à \(n\) (\(n ≥ 1\)),
telles que :
1. Pour un élément \(a\) donné de \(X\), \(f \circ f (x)= a\) pour tout \(x\) de \(X\).

2. Pour un sous ensemble \(B\) de \(X\), non vide, de cardinal \(p\), \( f \circ f(x) \in B \) pour tout \(x\)
de \(X\).

Solution (question 1) de Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques)

Nota
J’ai changé la formulation des questions initiales posées par Jean-Christophe
Laugier.
Particulièrement, la demande de la deuxième question était de dénombrer les
applications \(f : X \rightarrow X\) telles que \( f \circ f(X) \subseteq B \) , \(B\) étant une partie donnée de \(X\) de
cardinal \(p\).
Jean-Christophe Laugier me fait remarquer que la question 2 du 517-3 était
nettement plus ardue … !
Pierre Renfer en a donné une démonstration qui paraîtra dans le prochain numéro.

Exercice 517 – 4 (Michel Lafond – Dijon) Équation diophantienne

Résoudre en nombres entiers l’équation

$$ \dfrac{1}{a^2} +\dfrac{1}{b^2} = \dfrac{1}{c^2} $$

Solution de Hervé Legrand (Tournefeuille)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques), Maurice Bauval (Versailles) , Raymond Heitz (Névez), Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé).

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