Exercices de ci de là du BV 519

et solutions des exercices 517-1, 517-2, 517-3 et 517-4

Bruno Alaplantive

Résumé de l’article

Cette rubrique contient les exercices 519-1 (détermination d’un angle), 519-2 (lieux des points images de points d’une parabole), 519-3 (équation du 3ème degré avec paramètre), 519-4 (équation du second degré à coefficients complexes) ; ainsi que les solutions des exercices 517-1 (résolution d’un système non linéaire), 517-2 (recherche de triangles multiplicatifs), 517-3 (problème de dénombrement d’applications) et 517-4 (équation diophantienne).

Exercices

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Exercice 519-1 Michel Lafond – Dijon

Dans la figure ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires et les segments [AD] et [BC] se coupent en M. Démontrer que si $MB = 3 MA$ et $MD = 5 MC$ alors l’angle AMB mesure 60°.

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Exercice 519-2 Robert March – Paris

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$F$ et $S$ sont le foyer et le sommet de la parabole $(P)$
$M$ un point de cette parabole.
$N$ et $Q$ sont les projetés orthogonaux de $M$ respectivement sur la tangente au sommet et sur l’axe.
$N' $ est le symétrique de $N$ par rapport à $S$.
La parallèle menée par $Q$ à $[FN' ]$ coupe la tangente au sommet en $R$.
La parallèle menée par $R$ à l’axe coupe la normale en $M$ au point $P$.

Montrer que le lieu de $P$ quand $M$ décrit la parabole est sa développée.

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Exercice 519-3 Pour nos élèves

A. Prouver que pour tout réel $k$, l’équation $x^3 + 4x^2 + 6x + k = 0$ ne peut pas avoir 3 racines réelles distinctes.

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B. Dans le solide $ABCDEF$ ci-contre, $ABCD$ est un carré de côté $c= 3\sqrt{2}$ cm ; les triangles $BCE$ et $ADF$ sont équilatéraux.
De plus l’arête $[EF]$ est parallèle à la face $ABCD$ et $EF = 2c$.
Calculer le volume de ce solide.

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Exercice 519-4 Paul-Alain Bonvert – Alpha du Ginseng

Dans $\mathbb{C}$ on considère l’équation (E) : $z^2 +(a+ib)z + (c+id) =0$.

Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que (E) admette une racine réelle et l’autre complexe.

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Solutions

Exercice 517 – 1 Pour nos élèves.

A – Dans un repère inconnu sur feuille blanche, on donne trois points non alignés $A$, $B$, $C$ et leurs coordonnées. Retrouver les axes et le repère $\left( O, \vec{i}, \vec{j}\right)$ .

B – Déterminer tous les couples de réels strictement positifs $(a,b)$ solutions du système

$$ \left \{ \begin{array}{l} a + \ln (a)=b \\ b+\ln(b) = a \end{array} \right. $$

Solution de L.-G Vidiani (Fontaine les Dijon)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques) , Michel Lafond (Dijon)

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Exercice 517 – 2 (Tiré des olympiades mathématique espagnoles 2005).

On dit qu’un triangle est multiplicatif si le produit des longueurs de deux de ses côtés est égal à la longueur du troisième côté.
On considère un polygone régulier $A_1 A_2 \ldots A_n$ ($n ≥ 4$ ) à $n$ côtés, tous de longueur 1.
Les $n - 3$ diagonales issues de $A_1$ partagent le triangle $A_1 A_2 A_n$ en $n - 2$ petits triangles.
Prouver que chacun de ceux-ci est multiplicatif.

Solution de Raymond Heitz (Névez)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques) , Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Pierre Lapôtre (Calais), Michel Sarrouy (Mende).

Exercice 517–3 (Jean-Christophe Laugier – Rochefort) Dénombrement et application.

Dénombrer les applications $f : X \rightarrow X$ ,$X$ ensemble fini de cardinal égal à $n$ ($n ≥ 1$), telles que :
1. Pour un élément $a$ donné de $X$, $f \circ f (x)= a$ pour tout $x$ de $X$.

2. Pour un sous ensemble $B$ de $X$, non vide, de cardinal $p$, $ f \circ f(x) \in B $ pour tout $x$ de $X$.

Solution (question 1) de Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques)

Nota
J’ai changé la formulation des questions initiales posées par Jean-Christophe Laugier.
Particulièrement, la demande de la deuxième question était de dénombrer les applications $f : X \rightarrow X$ telles que $ f \circ f(X) \subseteq B $ , $B$ étant une partie donnée de $X$ de cardinal $p$.
Jean-Christophe Laugier me fait remarquer que la question 2 du 517-3 était nettement plus ardue … !
Pierre Renfer en a donné une démonstration qui paraîtra dans le prochain numéro.

Exercice 517 – 4 (Michel Lafond – Dijon) Équation diophantienne

Résoudre en nombres entiers l’équation

$$ \dfrac{1}{a^2} +\dfrac{1}{b^2} = \dfrac{1}{c^2} $$

Solution de Hervé Legrand (Tournefeuille)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’ Orques), Maurice Bauval (Versailles) , Raymond Heitz (Névez), Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé).

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)