Richard Cabassut

Les textes officiels français [1] précisent que «  La définition du socle commun prend
[...] appui sur la proposition de recommandation du Parlement européen et du Conseil
de l’Union européenne en matière de “ compétences-clés pour l’éducation et
l’apprentissage tout au long de la vie ”. Elle se réfère [...] aux évaluations
internationales, notamment au Programme international pour le suivi des acquis des
élèves (PISA) qui propose une mesure comparée des connaissances et des compétences
nécessaires tout au long de la vie ». Effectivement se mettent en place dans différents
pays d’Europe des dispositifs présentant des analogies avec le socle commun français :
les huit compétences mathématiques au Danemark en 2002 avec le programme KOM
piloté par Mogens Niss qui inspirera et animera PISA, les « Bildungsstandards  » en
Bade-Wurtemberg en 2004 et en Autriche en 2006, les «  functionnal skills  » en
Angleterre expérimentés à partir de 2007, les « enseñanzas mínimas y competencias
básicas » en Espagne dans la réforme de l’ESO de 2006, … Nous allons étudier plus
en détail ce dernier dispositif pour nous permettre de prendre de la distance par rapport
à la mise en place du socle commun en France et mieux le questionner, notamment
quant à son évaluation.

1. Les « enseignements minimaux » en Andalousie

• 1.1 Décentralisation du système éducatif
  Depuis l’adoption de la nouvelle constitution de 1978, le système éducatif a opéré un
  transfert des fonctions, des services et des ressources de l’État Central aux
  Communautés Autonomes, qui peuvent avoir en plus du castillan une autre langue
  officielle d’enseignement (comme par exemple le catalan en Catalogne). Cette
  décentralisation répartit les compétences entre l’État Central, les Communautés
  Autonomes, les administrations locales et les établissements scolaires. Des décrets
  royaux peuvent harmoniser les systèmes de chaque Communauté Autonome. Nous
  allons nous limiter à l’exemple de la Communauté Autonome d’Andalousie.
  La scolarité obligatoire, de 6 à 16 ans, débute à l’école primaire pendant 6 ans, des
  classes 1 à 6. Elle se poursuit 4 ans à l’école secondaire, des classes 1 à 4. L’école secondaire non obligatoire, après 16 ans, est composée des classes 1 et 2.
• 1.2 Un cadrage national des enseignements minimaux
  Le décret royal du 29 décembre 2006 fixe un cadre commun à toutes les
  Communautés pour les enseignements minimaux de l’éducation secondaire
  obligatoire dans les termes suivants.
  Les enseignements minimaux sont les aspects de base du curriculum référés aux
  objectifs, aux compétences de base, aux contenus et aux critères d’évaluation.
  L’objectif du décret royal est d’établir les enseignements minimaux de l’éducation
  secondaire obligatoire.
  La finalité des enseignements minimaux est d’assurer une formation commune à tous
  les élèves du système éducatif dans le système scolaire espagnol et de garantir la
  validation des diplômes correspondants.
  65% de l’horaire doit être alloué au curriculum minimal [55% dans les régions où
  existe une seconde langue officielle, comme par exemple la Catalogne]. Le reste est
  attribué au projet éducatif des établissements scolaires.
  À partir de la troisième année, il y a une possibilité de diversification pour permettre
  à chaque élève d’atteindre les objectifs et d’obtenir le titre de diplômé de
  l’enseignement secondaire obligatoire.
  Les programmes de l’éducation professionnelle sont destinés aux élèves qui n’ont pas
  obtenu ce diplôme ; ils leur offrent la possibilité de l’obtenir par une préparation
  spéciale.
  De même sont établis les principes d’une préparation spéciale à ce diplôme destinée
  aux adultes.
  À la fin de la deuxième année, une évaluation diagnostique à valeur formative et
  d’orientation permet à chaque élève de déterminer les moyens adéquats d’amélioration
  pour achever son éducation secondaire obligatoire.
• 1.3 Place des mathématiques dans l’enseignement secondaire obligatoire (12 à 16 ans)
  Les matières obligatoires au cours des trois premières années sont : sciences
  naturelles ; sciences sociales ; histoire et géographie ; éducation physique et sportive ;
  espagnol et littérature (et éventuellement langue régionale officielle) ; langue
  étrangère ; mathématiques. S’y ajoutent au plus deux matières supplémentaires
  parmi : éducation à la citoyenneté et aux droits de l’homme ; éducation plastique et
  visuelle ; musique ; technologie.
  Pour la quatrième année sont obligatoires : sciences sociales ; histoire et géographie ;
  éducation éthique et civique ; espagnol et littérature (et éventuellement langue
  régionale officielle) ; première langue étrangère ; mathématiques. Trois matières
  supplémentaires sont à choisir parmi : biologie et chimie ; éducation plastique et
  visuelle ; physique et chimie ; latin.
  En mathématiques il y a un cours unique lors des trois premières années et une
  différenciation en quatrième année entre un cours propédeutique à la poursuite d’études
  mathématiques et un cours terminal. L’horaire mathématique est environ 20% de
  l’horaire total, soit 280 heures pour les trois premières années et 105 heures pour la
  quatrième.

• 1.4 L’évaluation de la responsabilité de chaque professeur
  Dans l’établissement scolaire, l’évaluation est de la responsabilité des professeurs
  (contrôle continu et/ou tests de fin d’année en juin, éventuellement dans certaines
  écoles rattrapage en septembre).
  L’évaluation de l’élève est continue. Elle est différenciée suivant les matières choisies
  mais les mathématiques sont obligatoires, donc toujours évaluées.
  À partir de la troisième année, les établissements scolaires peuvent organiser des
  programmes curriculaires diversifiés adaptés aux besoins de certains élèves.
  Le passage en classe supérieure n’est pas possible si l’évaluation est négative dans au
  moins trois matières. Le droit au redoublement existe jusqu’à l’âge de 18 ans.
  À la fin de l’enseignement secondaire obligatoire, le diplôme de l’enseignement
  secondaire obligatoire est attribué par un conseil de professeurs.
• 1.5 La compétence mathématique en Espagne
  Il semble intéressant de comparer la compétence mathématique définie en France pour
  le socle commun avec celle définie dans le décret royal précité en les termes suivants.
  La compétence mathématique consiste en l’aptitude à utiliser et à mettre en rapport
  les nombres, leurs opérations de base, les symboles et les formes d’expression et de
  raisonnement mathématique, tant pour produire et interpréter différents types
  d’information, que pour étendre la connaissance sur les aspects quantitatifs et spatiaux
  de la réalité, et pour résoudre des problèmes en rapport avec la vie quotidienne et avec
  le monde du travail.
  Fait partie de la compétence mathématique l’aptitude à interpréter et à exprimer avec
  clarté et précision des informations, des données et des argumentations, qui augmente
  la possibilité réelle de continuer à apprendre tout au long de la vie, tant dans le cadre
  scolaire ou académique comme en dehors, et favorise une réelle participation réelle à
  la vie sociale.
  De même cette compétence implique la connaissance et le maniement des éléments
  mathématiques de base (différents types de nombres, mesures, symboles, éléments
  géométriques, etc.) dans des situations réelles ou simulées de la vie quotidienne, et la
  mise en pratique de processus de raisonnement qui aboutissent à la résolution des
  problèmes ou à l’obtention d’information. Ces processus permettent d’appliquer cette
  information à une plus grande variété de situations et de contextes, de suivre des
  chaînes d’argumentation en identifiant les idées fondamentales, et d’estimer et de juger
  la logique et la validité des argumentations et informations. Par conséquent, la
  compétence mathématique suppose l’aptitude à suivre certains processus déterminés
  de pensée (comme, entre autres, l’induction et la déduction) et à appliquer quelques
  algorithmes de calcul ou des éléments de logique, ce qui conduit à identifier la validité
  des raisonnements et à évaluer le degré de certitude associé aux résultats dérivés des
  raisonnements valables.
  La compétence mathématique induit une disposition favorable et une sécurité et une
  confiance progressives envers l’information et les situations (problèmes, inconnues,
  etc.) comportant des éléments ou des supports mathématiques, ainsi que leur
  utilisation quand la situation l’indiquera, basée sur le respect et le goût de la certitude
  ainsi que sur la recherche de celle-ci à travers le raisonnement.
  Cette compétence apporte réalité et sens à l’utilisation des éléments et des
  raisonnements mathématiques pour faire face aux situations quotidiennes qui la
  nécessitent. Par conséquent, l’identification de telles situations, l’application de
  stratégies de résolution de problèmes et le choix de techniques adéquates pour calculer,
  représenter et interpréter la réalité à partir de l’information disponible en font partie.
  Pour cette raison, son développement dans l’enseignement obligatoire sera atteint
  dans la mesure où les connaissances mathématiques sont appliquées de manière
  spontanée à une grande variété de situations provenant d’autres domaines de
  connaissance et de la vie quotidienne. Le développement de la compétence
  mathématique à la fin de l’éducation obligatoire implique d’utiliser spontanément - dans les domaines personnel et social – les éléments et les raisonnements
  mathématiques pour interpréter et produire de l’information, pour résoudre des
  problèmes provenant de situations quotidiennes et pour prendre des décisions. En
  définitive, cela suppose d’appliquer des aptitudes et attitudes permettant de raisonner
  mathématiquement, de comprendre une argumentation mathématique, de s’exprimer et
  de communiquer dans le langage mathématique, en utilisant pour cela les outils
  adéquats, et en intégrant la connaissance mathématique à d’autres types de
  connaissance pour fournir une meilleure réponse aux situations de la vie de différents
  niveaux de complexité.
• 1.6 Critères d’évaluations
  Après les blocs de programmes un certain nombre de critères d’évaluations sont
  explicités pour chaque année.
  Nous en donnons à titre d’exemple quelques-uns relatifs à la deuxième année.
  Critères d’évaluation
  
  • 1 Utiliser des nombres entiers, des fractions, des décimaux et des pourcentages
    simples, leurs opérations et leurs propriétés, pour rassembler, transformer et échanger l’information et résoudre des problèmes en rapport avec la vie quotidienne. Il s’agit
    d’évaluer la capacité à identifier et à employer les nombres et les opérations en étant
    conscient de leur signification et de leurs propriétés, à choisir la forme de calcul
    appropriée (mental, écrit ou à la calculatrice) et à juger de la cohérence et de la
    précision des résultats obtenus. En ce qui concerne les opérations auxquelles se réfère
    ce critère, il convient d’y inclure les puissances d’exposant naturel. Il est d’une
    importance particulière d’évaluer l’utilisation de différentes stratégies permettant de
    simplifier le calcul avec des fractions, décimaux et pourcentages, ainsi que l’aptitude
    à appliquer ces calculs à une vaste variété de contextes.
  • 2. Identifier des relations de proportionnalité numérique et géométrique et les utiliser
    pour résoudre des problèmes dans des situations de la vie quotidienne. Il s’agit de
    vérifier la capacité d’identifier, dans différents contextes, une relation de
    proportionnalité entre deux grandeurs. De même, il s’agit d’évaluer la capacité à
    mettre en œuvre différentes stratégies (utilisation de tableaux, obtention et utilisation
    de la constante de proportionnalité, réduction à l’unité, etc.) pour obtenir des éléments
    inconnus dans un problème à partir d’autres connaissances, dans des situations de la
    vie réelle où il existe des relations de proportionnalité.
    (…)
  • 7. Utiliser des stratégies et des techniques de résolution de problèmes, comme
    l’analyse de l’énoncé, essai et ajustement, la division du problème en sous-problèmes,
    ainsi que la vérification de la cohérence de la solution obtenue, et exprimer, en
    utilisant un langage mathématique adapté à ce niveau, la procédure qui a été suivie
    dans la résolution. Ce critère permet d’évaluer la façon de faire face à des tâches de
    résolution de problèmes pour lesquels on ne dispose pas d’une procédure standard
    permettant d’obtenir la solution. Ceci va de la compréhension de l’énoncé à partir de
    l’analyse de chacune des parties du texte et de l’identification des éléments les plus
    significatifs, jusqu’à l’application de stratégies de résolution, ainsi qu’à l’habitude et
    à l’aptitude nécessaires pour vérifier la correction de la solution et sa cohérence avec
    le problème posé. Il s’agit de même d’évaluer la persévérance dans la recherche de
    solutions et la confiance en ses capacités pour l’obtenir, ainsi que la capacité à
    transmettre, avec un langage suffisamment précis, les idées et les processus
    personnels développés, de façon à se faire comprendre et à être compris de ses
    camarades.
• 1.7 Sujets d’évaluations diagnostiques communs à toute l’Andalousie
  En mathématiques, il existe deux évaluations avec le même sujet pour toute
  l’Andalousie : une au milieu de l’enseignement primaire (de 6 à 12 ans), et une au
  milieu de l’enseignement secondaire obligatoire (de 12 à 16 ans). L’évaluation
  régionale dans le secondaire se situe en général au début de la troisième année. Pour
  l’élève, elle est diagnostique et formative (mise en place de soutien, aide à
  l’apprentissage, …) ; elle aide à l’orientation de l’élève ; elle permet enfin d’avoir une
  vue systémique de l’enseignement des mathématiques à ce niveau.
  Voici deux extraits du sujet d’évaluation diagnostique d’octobre 2006.
  
• 1.7.1 Les nombres
  Situation-problème : chez le marchand de fruits
  Question 1 :
  La mère des frères Jean et Antoine leur demande d’effectuer les achats suivants chez le
  marchand de fruits et légumes :
   1/2 kg de carottes à 0,70 /kg,
   1/4 kg de piments à 2,20 /kg,
   1kg et 1/2 d’oranges à 0,80
   1 kg et 3/4 de pommes à 1,40 kg.
  Quel est le poids total des produits achetés ? Explique comment tu obtiens le résultat.
  

Question 2  :
La mère pense qu’on a dépensé davantage pour les fruits que pour les légumes. A-t-elle
raison ? Expliquer.

.

• 1.7.2 Géométrie
  Situation-problème : L en construction
  Question 7 :
  Dans les dessins suivants on montre la construction des quatre premières figures d’une suite utilisant des carreaux noirs.

  

   

 Considérons la question suivante : Combien de carreaux noirs faut-il pour dessiner la
pièce qui occupe la place 100 ?
Pour répondre, on pourra commencer de différentes manières.
Une première manière serait :
Chaque branche du L contient 100 carreaux noirs et on ajoute celui du coin.
Une deuxième manière serait :
Une branche contient 100 carreaux noir et l’autre 101, soit un total de …
Une troisième manière serait :
La figure s’obtient en enlevant à un carré de 101 carreaux de côté un carré de
côté 100 …
Lis attentivement chacune des réponses précédentes et signale celle qui te paraît la
plus simple, en expliquant pourquoi et en complétant pour terminer de répondre à la
question sur le nombre de carreaux noirs nécessaire pour dessiner la pièce qui occupe
la place 100.

Commentaires :

On observe que l’évaluation ne se fait pas sur la seule base de la correction des
traitements ou la seule validité des raisonnements, mais qu’elle prend en compte des
compétences plus larges. L’un des exercices fait appel à une situation de la vie
quotidienne et effectivement, sur les 17 questions de cette évaluation, 14 concernent
des situations en lien avec la réalité, ce qui n’est pas sans rappeler les situations de
l’enquête PISA.

2. Questions

On voit illustré à travers le cas espagnol qui vient d’être exposé et le cas français une
variété de situations dans la mise en place de ces compétences communes : dans des
contextes variés, soit avec une différenciation précoce (comme en Bade-Wurtemberg)
ou tardive comme en France, une décentralisation importante en Espagne ou faible en
France, avec des variétés des conceptions de ce qui est commun et des différences dans
l’évaluation de ces compétences : évaluations locales organisées par les professeurs
ou évaluations communes organisées par une autorité, évaluations pour former, pour
orienter, pour certifier, différence dans les choix des moments de l’évaluation.
Pourtant il apparaît des éléments communs : les mathématiques sont toujours
présentes dans ces compétences communes et elles sont évaluées ; les évaluations
visent à porter une attention particulière aux élèves en difficulté ; le souci de
l’efficacité du système éducatif et le souci d’une formation de base utile pour la vie
quotidienne, professionnelle et citoyenne apparaissent dans la formulation des
compétences et dans leurs évaluations.

Certaines mises en garde se font entendre : «  L’École peut prendre l’allure d’une salle
des marchés où, loin des trop longs détours de la connaissance “ théorique ”, on gère
fiévreusement un “ portefeuille des compétences ” qu’il convient d’actualiser
rapidement pour répondre aux demandes des différents marchés sur lesquels l’individu
est censé réaliser sa valeur » [Chevallard 2002, p. 54-55]

Il restera donc, après avoir mis en place et observé ces différents dispositifs, à les
aménager ou à les réformer en fonction des évaluations.

Annexe
Programmes de mathématiques

Nous donnons les extraits suivants du programme de mathématiques du cours de
seconde année (rappelons que l’enseignement secondaire obligatoire comporte quatre
années). Ces extraits ont été choisis pour être mis en correspondance avec les
exemples d’extraits de sujets d’évaluations de début de Troisième année. Le
programme est constitué de cinq « blocs » : contenus communs, nombres, algèbre,
géométrie, fonctions et graphiques, statistiques et probabilités.

Nous avons choisi des extraits relatifs au bloc des nombres et au bloc de la géométrie.

Nombres
Première année
Nombres. Divisibilité des nombres naturels. Multiples et diviseurs communs à
plusieurs nombres. Applications de la divisibilité à la résolution de problèmes
associés à des situations quotidiennes. Nécessité des nombres négatifs pour exprimer
des états et des changements. Reconnaissance et conceptualisation dans des contextes
réels. Signification et utilisation des opérations avec des nombres entiers. Utilisation
de la hiérarchie et des propriétés des opérations et des règles d’utilisation des
parenthèses dans des calculs simples. Fractions et décimaux dans des environnements
quotidiens. Différentes significations et utilisations des fractions. Opérations avec les
fractions : addition, soustraction, produit et quotient. Nombres décimaux. Relations
entre fractions et décimaux. Élaboration et utilisation de stratégies personnelles pour
le calcul mental, pour le calcul approché et avec la calculatrice. Rapport et proportion.
Identification et utilisation, dans des situations de la vie quotidienne, de grandeurs
directement proportionnelles. Application à la résolution de problèmes dans lesquels
intervient la proportionnalité directe. Pourcentages pour exprimer des compositions
ou des variations. Calcul mental et écrit avec des pourcentages habituels.

Deuxième année
Figures de même forme et de tailles différentes. La similitude. Proportionnalité de
segments. Identification de relations de similitude. Agrandissement et réduction de
figures. Obtention, quand ce sera possible, de l’échelle utilisée. Rapport entre les aires
de figures semblables. Utilisation des théorèmes de Thalès et de Pythagore pour
obtenir des mesures et vérifier des relations entre des figures. Polyèdres et solides de
révolution. Développements plans et éléments caractéristiques. Classification relative
à différents critères. Utilisation de propriétés, de régularités et de relations pour
résoudre des problèmes du monde physique. Volumes de solides géométriques.
Résolution de problèmes impliquant l’estimation et le calcul de longueurs, d’aires et
de volumes. Utilisation de procédures comme la composition, la décomposition,
l’intersection, la troncature, la dualité, le mouvement, la déformation ou le
développement de polyèdres pour les analyser ou en obtenir d’autres.

Références

Chevallard, Y. 2002. Organiser l’étude 3. Écologie & régulation. In : Dorier, J.-L. et
al. (éds). Actes de la 11e école de didactique des mathématiques. La Pensée Sauvage,
Grenoble.

Décret royal du 29 décembre 2006 organisant les enseignements minimaux dans
l’éducation secondaire. Téléchargeable le 26/01/08 sur :
http://www.mec.es/mecd/gabipren/documentos/files/desarrollo-loe-rdl-eso.pdf

Épreuve d’évaluation diagnostique de milieu de scolarité secondaire :
http://www.adelat.org/media/docum/prueba.pdf