Actes de l’Université d’été 2004 d’ANIMATH.
21 auteurs. Coordination : C. DUCOURTIOUX et P.-L. HENNEQUIN
Coédition APMEP-Animath.

336 pages en 17× 24, d’excellente présentation.
Bibliographie abondante, par articles.

ISBN : 2-912846-46-3.

Prix : public : 13€ ; adhérent : 9€.

Des intervenants, de Collège, Lycée ou d’Universités, enracinés dans de solides expériences, aux apports plus que substantiels ... que je ne peux, ici, que survoler.

I. ATELIERS (107 pages).

I.1.Situations de recherche pour la classe. Objectifs caractéristiques pour une dévolution à l’élève, conditions pour une gestion par l’enseignant (33 pages).
Il s’agit, précise Claude TISSERON , de « mettre l’élève en position de recherche sous sa propre responsabilité », les interventions de l’enseignant « permettant à l’élève d’avancer, sans pour autant “ tuer la recherche ” ». La question initiale doit être facile d’accès, des stratégies d’essais possibles et contrôlables par l’élève lui-même...

• Première partie (16 pages), de Claude TISSERON.
  Premier problème travaillé (5 pages) : « Dans un plan, deux cercles extérieurs. Quel est l’ensemble des points M de ce plan tels que toute droite passant par M rencontre au moins l’un des deux cercles... ».
  Deuxième problème (3 pages) : étude d’une application avec point fixe. Puis des activités pour « approfondir ce que c’est que faire des maths et faire faire des maths », avec une application sur « Thalès-triangle »...

• Deuxième partie (15 pages + une Annexe), par Karine GODOT et Denise GRENIER.
  Deux situations travaillées, éclairées pour des outils didactiques :
  • une « roue aux couleurs », avec deux cercles concentriques,
  • un pavage , avec des polyminos variés, d’un carré « troué ».
    L’Annexe (7 pages), de François LO JACOMO, explicite une démarche heuristique.

I.2. Maths-en-Jeans (22 pages), par Pierre AUDIN et Pierre DUCHET.
Comment organiser, autour d’un « Objet de science », des « situations-recherche par nature “ imprédictibles ”, [...] particulièrement favorables pour l’apprentissage de savoirs “ transversaux ” » sur les maths, les divers types de savoirs, ... ».
À vivre à travers un demi-tour de voiture (sous contraintes) , en 12 pages de progressives et prenantes mathématiques ... débouchant sur des astroïdes, et un coloriage variante du « problème des m-pires » (celui « des quatre couleurs » pour m=1).

I.3. Objets mathématiques (44 pages).
I.3.1. Construction de polyèdres(20 pages), par François GAUDEL : deltaèdres,« polyèdres géants », reproductions à partir d’Escher, ...
I.3.2. Le boulier chinois (8 pages), par Caroline POISARD.
I.3.3. « Chasse aux bêtes » (2 pages), par Charles PAYAN , de quoi mettre en évidence :

• le caractère expérimental des maths,
• les problèmes d’optimisation[...],
• le rôle de la preuve, des « il faut et il suffit », [...],
• une démarche scientifique : va-et-vient entre simplification et généralisation, entre conjecture, preuve, réfutation.

I.3.4.« De l’usage simple des livres anciens » (6 pages), par Jean-Alain RODDIER, à propos des travaux de Michel Rolle.
I.3.5. « Utiliser Géospace W en club » (6 pages), des fiches-élèves avec de jolies constructions, par Jean-Alain RODDIER.
I.3.6. Débat sur l’Atelier 3 (2 pages).

II. « CONFÉRENCES PROMENADES » (95 pages).

« Sous le nom de “ promenades mathématiques”, ANIMATH développe la mise à la disposition des enseignants du second degré de chercheurs susceptibles de venir présenter dans les classes ce que sont les mathématiques vivantes d’aujourd’hui ; on trouvera ici quatre exemples » [passés au peigne fin d’une discussion].

II.1. « TOURS DE MAIN ET MÉTHODES . Un cheminement historique sur la valeur épistémologique de la concision en mathématiques » (40 pages), par Jean DHOMBRES.
« Le “ tour de main ” que je considère [peut] devenir quasi instantanément un tour de pensée, sans pour autant qu’il soit lui-même relégué en tant qu’étape dépassée ».
Jean Dhombres en traite à propos du théorème fondamental de l’algèbre (... et d’Argand), du tout début du calcul différentiel, ... : « objets tournés et retournés en tous sens », « rôle des outils », ... : « Pourra-t-on convenir que la différence entre outils et objets mathématiques se fasse par la dénomination d’un “ tour de mains ” ? »

II.2. « ARCS-EN-CIEL, … » (20 pages), de Michèle AUDIN.
Beau voyage, abordable, de la néphroïde de nos bols aux courbes elliptiques, à leur groupe, et au Théorème de Fermat … en passant par les toupies.

II.3. « LE LEMME DE BAIRE » (16 pages), par Gilles GODEFROY. De belles mathématiques enchâssées dans une trame historique.

II.4. « POURQUOI LE LIVRE X D’EUCLIDE OU THÉÉTÈTE, LE GALOIS GREC » (10 pages), par Dominique ROUX : De belles études d’antyphérèse et d’heureuses mises au point.

III. « Conférences MATHS VIVANTES et ÉDUCATION SECONDAIRE » (61 pages).

III.1. « LES MATHÉMATIQUES : DÉMONSTRATION, DESCRIPTION, EXPÉRIENCE » (22 pages), par Martin ANDLER, où je relève, notamment :

• « Que sont les mathématiques ? » : rigueur et démonstration, statuts de textes « imparfaits », modes d’expression plus divers, …, trois niveaux d’abstraction, les maths comme science d’observation ou comme science expérimentale … pour des « rapports d’intimité » avec les notions, …
• « La pratique des mathématiques » : examens, … rôles essentiels des aspects « concrets », de l’utilisation des outils construits, … Remarquant que, face aux difficultés, on ne peut espérer aucun allongement des horaires ou des études, Martin Andler préconise d’enseigner autrement… Il cite André Weil : « Dans la mesure où un certain degré d’abstraction est inutile, il est automatiquement mauvais. […] Ce qui compte, ce n’est pas de tout démontrer … […] mais que les élèves aient rencontré, au moins une fois, un raisonnement qui les ait convaincus de la vérité de tel résultat alors même que celle-ci ne leur était pas intuitive »… Avec V. Arnold, Martin Andler compare les « théorèmes à la russe », limités à la « généralité minimale » […] et les « théorèmes à la française » qui visent la « généralité maximale » […]. Il refuse l’identification entre démonstration et démarche déductive, et fait l’éloge de la « monstration »… Osons : « les mathématiques sont diverses dans leur objet et leurs approches »… [Quel bon souffle de liberté !].

III.2. « LA PLACE DES MATHS VIVANTES DANS L’ÉDUCATION SECONDAIRE. Transposition didactique des maths et nouvelle épistémologie scolaire » (25 pages), par Yves CHEVALLARD.
Entre méprise et mépris, … quelles missions pour l’École ? Matière comme les autres, les maths ne relèveraient-elles pas des trois âges successifs prêtés par Chateaubriand à l’aristocratie : ceux des supériorités, des privilèges, des vanités, … pour s’y éteindre dans le dernier ?
De bonnes étrillées, argumentées, nous préparent « à une action d’envergure immédiatement possible, utile, nécessaire », avec « la notion, antique, de “ vie bonne ” pour réinscrire l’École dans la société »… Des questions « essentielles » provoquent des « réponses poinçons » et des « réponses cœur »… Avec des « P.E.R. » (« parcours d’étude et de recherche »), Yves Chevallard en « appelle à une nouvelle didactique scolaire » (avec, entre autres, l’exemple de comparaisons entre 420/595 et 12/17).

III.3. « SIMULATION STATISTIQUE ET ENSEIGNEMENT ». 10 pages au terme desquelles Jean-Pierre RAOULT « espère avoir convaincu les collègues de la nécessité de l’enseignement de la Statistique, les avoir apaisés quant à sa difficulté et les avoir stimulés quant à sa possibilité ». Triple pari, je crois, réussi !

IV. « ACTIVITÉS DE POPULARISATION DES MATHS SOUTENUES PAR DES TICE » (32 pages).

IV.1. L’expérience Math en Jeans (23 pages), par Laurent BEDDOU et Christian MAUDUIT… 16 activités pour « apprendre en cherchant » : pliages de papiers et fractales, multiplication de Steinhaus, sofa de Conway, …

IV.2. Le site de « Culture MATH » (6 pages) de Farouk BOUCEKKINE, et les vidéos de « Mathematics » (1 page) proposées par Éliane COUSQUER.

V. Pour maintenir encore l’appétit :

• Une Table Ronde (6 pages) sur la « tension entre démarche scientifique et programmes ».
• 7 pages d’évaluation de cette Université d’été.
• Des réflexions ultérieures sur l’utilité du « par cœur » d’algorithmes opératoires, sur l’idée, et le raisonnement, les objets mathématiques, … François LO JACOMO y plaide pour la « valorisation des idées » [et pas des contraintes rédactionnelles], notant que « la pratique actuelle de l’enseignement s’intéresse plus aux “ erreurs formelles, aux défauts de mise en forme ” qu’à “ l’absence d’idée ”… Or, sans idée, … »… [À l’opposé, cf. problèmes ouverts, situations-recherche, débat scientifique, narrations de recherche, …].

MA CONCLUSION :

Une brochure aux paysages multiples qui toujours provoque, secoue, mais aussi éclaire, propose, revigore… Un bel outil pour toujours mieux enseigner, surtout si – comme le croit Martin Andler – c’est notre seule espérance… : il faut s’y engouffrer ! Merci, Animath !