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La fonction zêta

Journées X-UPS 2002

Paul Louis Hennequin

par Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane.

École Polytechnique, Mars 2003

193 p.

ISBN 2-7302-1011-3.

Introduite par Euler et Riemann il y a deux siècles, la fonction zêta est célèbre et la conjecture sur ses zéros complexes résiste encore ; le présent texte, illustré par deux belles images de Jean-François Colonna présente trois points de vue et montre la richesse du sujet.

Jean-Benoît Bost donne une démonstration du théorème sur la répartition asymptotique des nombres premiers qui s’appuie sur les séries de Dirichlet et la transformation de Fourier. L’auteur reproduit en annexe une note de Jacques Hadamard qui esquisse une démonstration basée sur la non annulation de zêta pour un complexe de partie réelle 1.

Dans un article très riche de 130 pages, Pierre Colmez décrit un panorama complet des fonctions zêtas complexes et p-adiques. Philippe Briane apporte sur deux exemples l’éclairage probabiliste : la répartition des zéros de zêta de partie réelle 1/2 est analogue à celle des valeurs propres de grandes matrices aléatoires ; la théorie des excursions du mouvement brownien donne une interprétation de certaines propriétés fonctionnelles de zêta.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)