512

Les problèmes du BV 512 Et solutions du 500-2

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 512-1 (Michel Lafond (Dijon))
Le nombre N ! écrit en base dix se termine par un huit suivi d’exactement mille zéros.
Que vaut N ?

voir l’article où est publiée une solution

Problème 512-2
Dans le probleme 21 posé dans un bulletin vert en 2006, on démontre que les solutions rationnelles de l’équation \(x^y = y^x\) avec x < y sont données par

$$x=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \text{ et } y=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}$$


avec n \(\in \mathbb N\). On pose

$$u_n=x^y=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}}$$


Montrer que la suite \((u_n)\) converge, déterminer sa limite et préciser si la convergence a lieu de façon monotone.

Problème 512–3
Soit \(n \in \mathbb N^*\) et \(S_n\) le groupe symétrique, à savoir l’ensemble des bijections de l’ensemble \( [1]\) dans lui-même, muni de la loi de composition. Soit G un sous-groupe commutatif de \(S_n\). On suppose que G agit transitivement sur \( [2]\) : pour deux éléments x, y \(\in [3]\), il existe g \(\in\) G tel que g(x) = y. Trouver le cardinal de G. Quels sont les groupes que l’on peut ainsi réaliser (c’est-à-dire isomorphes à
un tel sous-groupe G de \(S_n\)) ?

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 500 - 2 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))

Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On extrait au hasard successivement et sans remise tous les jetons de l’urne. On note \(t_i\) le numéro porté par le jeton obtenu au i-ième tirage. On note \(x_i\) le plus petit nombre de séquences d’entiers consécutifs
que l’on peut former en utilisant tous les entiers \(t_1, …, t_i\).
On définit enfin une variable aléatoire X par

$$X=max\{x_i|i \in [4] \} $$


Que dire d’icelle ?

Voici un exemple pour n = 8. Si on a alors

$$t_1 = 4, t_2 = 5, t_3 = 2, t_4 = 7, t_5 = 1, t_6 = 3, t_7 = 8, t_8 = 6,$$


alors

$$x_1 = card \{\{4 \}\}=1, x_2 = card \{\{4,5\}\} = 1, x_3 = card \{\{2 \} , \{ 4,5\}\} = 2,$$


$$x_4 = card\{\{2 \} , \{4,5\} , \{7\}\}= 3, x_5 = card\{\{1,2\} ,\{4,5\}, \{7\}\} = 3,$$


$$x_6 = card \{1,2,3,4,5 \} ,\{ 7 \}\} = 2, x_7 = card\{\{1,2,3,4,5\} , \{7,8\}\} = 2,$$


$$x_8 = card\{\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\} = 1.$$


Dans ce cas, X prend la valeur 3.

Une seule réponse m’est parvenue, celle de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

<redacteur|auteur=500>

Notes

[11, n

[21, n

[31, n

[41,n

Les Journées Nationales
L’APMEP

Brochures & Revues
Ressources

Actualités et Informations
Base de ressources bibliographiques

 

Les Régionales de l’APMEP