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Les problèmes n° 295 et 296

Et solutions des problèmes n° 285 et 286

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème n°295 (Michel LAFOND, 21-Dijon)
Démontrer que le nombre de triangles inégaux de périmètre n à côtés entiers et non aplatis est égal au nombre de manières de payer (n − 3) euros avec des pièces de 2, 3 ou 4 euros.

voir l’article où est publiée une solution

Problème n°296 (Raymond RAYNAUD, 04-Digne)
Les parallèles à une droite (d) menées par les sommets d’un triangle ABC recoupent respectivement son cercle circonscrit en A′ , B′ , C′. P étant un point quelconque du cercle, les droites (PA ′ ), (PB ′ ), (PC ′ ) coupent respectivement les droites (BC), (CA) (AB) en A″ , B″ , C″ . Démontrer que ces trois points sont alignés.

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème n°285 (Charles NOTARI, 31-Montaut)
a étant un réel strictement positif, on considère la suite :

$$u_n=a^n+\frac{1}{a^n} $$

Montrer que, si cette suite prend deux valeurs entières consécutives $u_k$ et $u_{k + 1}$, tous les $u_n$ sont entiers.

Solution et remarques

Problème n°286 (Georges LION, 98-Nouméa, Nouvelle Calédonie)
Soient H et F deux points diamétralement opposés sur une hyperbole équilatère $(\mathcal H)$. Soit $(\mathcal P)$ une parabole de foyer F et dont la directrice passe par H. Soit A un point de $(\mathcal H)$ d’où l’on peut mener deux tangentes à $(\mathcal P)$, distinctes, non perpendiculaires et recoupant $(\mathcal H)$ respectivement en deux points B et C, distincts de A. Montrer que (BC) est tangente à $(\mathcal P)$.

Solution et remarques

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)