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Les problèmes n° 303 et 304

Et solutions des problèmes n° 293 et 296

Indications sur des énoncés déjà publiés

Énoncé 300 (si $\sum a(d) = 2^n , a(n)$ est divisible par $n$) :
Soit $p$ un facteur premier de $n$…

Énoncé 301 ($f (\alpha) f(\beta) f(\gamma) = f (\alpha) + f (\beta) + f (\gamma)$ si $ \alpha+\beta +\gamma=\pi$) :
Utilisons la fonction tangente...

Énoncé 302 (101 pièces … toutes de même masse ?)  :
Quel est le rang de la matrice ?

Énoncés des nouveaux problèmes

Énoncé n°303 (R. FERACHOGLOU et M. LAFOND, 21-Dijon)
Soit (Q) un quadrilatère plan convexe, dont les sommets distincts A, B, C, D sont dans cet ordre et dans le sens direct. On joint A au milieu de [BC], B au milieu de [CD], C au milieu de [DA] et D au milieu de [AB]. Ces quatre droites déterminent un nouveau quadrilatère $(q)$.

Démontrer que : $\dfrac{aire(Q) }{aire(q)} $ est compris entre 5 et 6 (6 exclu).

voir l’article où est publiée une solution

Énoncé n°304 (Pierre SAMUEL, 92-Bourg la Reine)
Dans le cas particulier où $n − 2$ est un nombre premier impair $p$, montrer que l’équation diophantienne : $2 x^2 + 1 = y^n (n > 2)$ n’admet, hormis la solution triviale $x = 0, y = 1$ que la solution $n = 5, x = 11$ et $y = 3$.

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Énoncé n° 293 (Michel LAFOND, 21-Dijon)
Démontrer que le nombre de triangles inégaux de périmètre $n$ à côtés entiers et non aplatis est égal au nombre de manières de payer $(n − 3)$ euros avec des pièces de 2, 3 ou 4 euros.

Solution

Énoncé n° 296 (Raymond RAYNAUD, 04-Digne)
Les parallèles à une droite $(d)$ menées par les sommets d’un triangle ABC recoupent respectivement son cercle circonscrit en A′ , B′ , C′ . P étant un point quelconque du cercle, les droites (PA′ ), (PB′ ), (PC′ ) coupent respectivement les droites (BC), (CA), (AB) en A″ , B″ , C″ . Démontrer que ces trois points sont alignés.

Solution

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)