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Les problèmes n°297 et 298

Et solutions des problèmes n°289 et 290

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème n°297 (Jacques BOUTELOUP, 76-Rouen)
On considère quatre cercles du plan tangents deux à deux en des points distincts.
1) Démontrer que trois d’entre eux sont tangents extérieurement deux à deux, le quatrième étant soit tangent extérieurement, soit tangent intérieurement à chacun des trois autres.
2) On désigne par $z_i$ les affixes des centres dans une représentation complexe du plan euclidien, par $r_i$ leurs rayons et l’on pose $c_i= - \frac{1}{r_i}$ lorsque le cercle correspondant est tangent intérieurement aux trois autres, $c_i=\frac{1}{r_i}$ dans les autres cas. Démontrer les relations :

$$2 \Sigma c_i^2= \left( \Sigma c_i \right)^2 $$

$$2 \Sigma c_i^2 z_i= \left( \Sigma c_i \right) \left( \Sigma c_i z_i \right)$$

$$2 \Sigma (c_i z_i)^2= \left( \Sigma c_i z_i \right)^2$$

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Problème n°298 (Pierre BORNSZTEIN, 78-Maisons-Laffitte)
Soit n ≥ 7 un entier, et S un ensemble de n points du plan tels que, parmi cinq quelconques de ces points, on puisse toujours en trouver quatre qui soient cocycliques. Montrer qu’au moins n − 1 de ces points sont cocycliques.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 289 (François LO JACOMO, 75 - Paris)

a) Soient $a_1, a_2, ..., a_n$ n entiers en progression arithmétique. Montrer que pour tout entier naturel k impair, $a_1^k+ a_2^k+ … + a_n^k$ est divisible par $a_1+ a_2 + … + a_n$.

b) Soient $a_1, a_2, ..., a_n$ n entiers en progression géométrique. Montrer que pour tout entier naturel k premier avec n, $a_1^k+ a_2^k+ … + a_n^k$ est divisible par $a_1+ a_2 + … + a_n$.

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Problème n°290 (Philippe DELEHAM, 24 - Périgueux)
Soit ABC un triangle. Quel est le lieu des points P tels que les droites d’Euler des triangles PBC, APC et ABP soient concourantes ? Quel est le lieu des points d’intersection Q de ces droites d’Euler ?

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)