Poitiers : sujet 3

Thème : GEOMETRIE dans l’ESPACE

Série concernée : S

Enoncé :
C’est l’heure du goûter ; deux amis, un artiste et un géomètre décident de s’attabler dans une pâtisserie. Ils ne commandent qu’un seul gâteau pour eux deux.

Leur choix se porte sur un joli moka au café en forme de pyramide équilatère [1].

Le géomètre s’apprête à le partager équitablement en plaçant son couteau sur le sommet comme il est d’usage.

L’artiste arrête alors son geste et lui propose une découpe plus originale : placer la lame sur le milieu d’une arête, parallèle à un côté de la base, puis couper en se dirigeant vers le côté opposé.

Le géomètre a des doutes, les parts ne lui semblent pas égales.

Les arêtes ont toutes pour longueur 10 cm.

1. Calculer le volume exact de cette pyramide équilatère.

2. Quelle fraction du volume de la pyramide équilatère représente effectivement le volume de la part du dessus qui a la forme d’une pyramide à base trapézoïdale ?

3. Plutôt qu’au milieu, en quel point de l’arête faudrait-il placer la lame, pour qu’en procédant de la sorte, le partage soit équitable ?

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[1] Pyramide régulière à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux.