Brochures APMEP nouvelles
nos 150 et 154

Deux tomes, par le groupe de travail APMEP « Problématiques au lycée », animé par
Régis GRAS, avec Philippe BARDY, Bernard PARZYSZ, Michèle PÉCAL, Jean-
Pierre RICHETON.

Des « Introductions » conséquentes, une préface de Jean-Pierre
KAHANE.

N° 150 (216 pages) ISBN : 2-912846-26-9.

Prix : 14 €, adhérent : 10 €.

N° 154 (176 pages) ISBN : 2-912846-30-7.

Prix : 10 €, adhérent : 7 €.

LES DEUX TOMES ENSEMBLE.

Prix public : 21 €, adhérent : 15 €

 Les auteurs ont poursuivi, pour le Lycée, un travail de même type sur le Collège .

 Il s’agit, chaque fois, « de formuler des propositions précises quant à la méthode
de conception ou de lecture d’un programme qui veut se construire, de façon
originale, à partir de grandes classes de problèmes : dix “ problématiques ”, qui
inscrivent objectifs, compétences et contenus plus en système qu’en une suite éclatée
de chapitres du cours. Les contenus doivent apparaître comme une issue et un moyen
incontournable pour résoudre des problèmes significatifs et non comme une fin en
soi. Ce travail, effectué (avec, aussi, quelques moyens INRP) par le groupe APMEP
“ Problématiques Lycée ” s’est renforcé par des réflexions, travaux et
expérimentations mis en œuvre dans le groupe APMEP “ Prospective Bac ” qui visait
lui-même un renouvellement du contenu et des méthodes de l’examen ».

•• Voici LES DIX « PROBLÉMATIQUES » :

Brochure no 150 : « EN RÉFÉRENCE PRIVILÉGIÉE À DES CONTENUS ».
 1. Repérage (40 pages).
 2. Étude de certaines configurations planes et spatiales. Représentations et mesures
associées (46 pages).
 3. Dynamique des points, des figures et des nombres (38 pages).
 4. Mesure de grandeurs. Précision, approximation, incertitude (44 pages).
 5. Traitement et représentation de données statistiques (36 pages).

Brochure no 154 : « EN RÉFÉRENCE PRIVILÉGIÉE À DES OBJECTIFS
MÉTHODOLOGIQUES ».
 6. Techniques algorithmiques (38 pages).
 7. Changements de cadres et de registres (32 pages).
 8. Formation au recueil, au traitement, à la consultation et à la communication de
l’information (32 pages).
 9. Construction ou choix opportun et optimal des modèles, des outils et des méthodes
dans des situations sous contrainte (36 pages).
 10. Conjectures, preuves, réfutations et validations (26 pages).

•• CHAQUE PROBLÉMATIQUE :

 s’ouvre sur des considérations générales (excellentes !) ;
 continue sur un tableau à trois colonnes (parfois deux) mettant en parallèle sur
environ une page : situations, démarches, contenus ;
 puis propose de nombreuses et variées « situations-problèmes » dûment éclairées,
commentées, … avec des mises en évidence d’objectifs, des variantes, des
conseils, … ;
– enfin se clôt par quelques « situations didactiques développées » et « comptes
rendus d’expériences » qui, très étudiés, sont de vrais bijoux.
Chaque énoncé est référé à un niveau déterminé (par exemple : seconde, première S,
première S-TS, … avec, s’il y a lieu, la mention « option sciences » – cf. demandes
de l’APMEP –).

•• Dans sa Préface, Jean-Pierre KAHANE note le caractère stimulant des
problèmes (… « même pour les professeurs ») : « on trouvera, dit-il, d’excellents
problèmes d’arithmétique et de géométrie, des exercices de mise en route pour des
notions de calcul, d’estimations, de probabilités et de statistiques, des textes écrits en
utilisant les symboles mathématiques et d’autres en langue naturelle, des articles de
journaux ou de publicités à critiquer, et bien d’autres choses intéressantes et
savoureuses… ».

J’ai, pour ma part, beaucoup aimé les habillages donnant un sens dynamique à des
situations classiques, les ouvertures sur l’environnement (taux d’alcoolémie, groupes
sanguins et … recherches de paternité, stratégies d’épargne, modalités de
paiements, …), les liens avec la physique (solides études relatives à la réfraction, …),
les rappels éventuels de « vieilles » constructions (tangentes communes à deux
cercles sans utiliser l’homothétie), … et la valorisation constante de méthodes
essentielles.

•• Voici un micro-florilège d’énoncés parmi les plus courts (parfois abrégés) :

• Problème 2 de la problématique 3 (seconde) :
Construire un triangle ABC dont les médianes issues de B et de C sont
perpendiculaires. Exprimer \(AB^{2}\) + \(AC^{2}\)en fonction de BC.$$

• Problème 4 de la problématique 10 (seconde option sciences) :
Cinq points sont choisis au hasard dans le plan repéré et tels que toutes leurs
coordonnées soient des entiers. Démontrer qu’il existe un segment d’extrémités deux
de ces points et dont le milieu ait également des coordonnées entières. (jolie
application, bien mise en évidence par le commentaire, de la parité et du principe des
tiroirs…)

• Problème 6 de la problématique 10 (terminale) :
D’un tonneau de 228 l de muscadet, je retire chaque jour un litre que je bois et que
je remplace subrepticement par un litre d’eau. À partir de quel jour bois-je plus d’eau
que de vin ?

• Problème 7 de la problématique 10 (option sciences) :
– énoncé abrégé – Peut-on trouver deux entiers n et p tels que
1 ! + 2 ! + 3 ! + … + n ! = p2.
• Problème 19 de la problématique 10 (option sciences) :
Que dire de deux entiers naturels dont la différence est un nombre premier ?

• Problème 2 de la problématique 4 (toutes classes) :
Dans une classe de 27 élèves, Mouloud a été élu délégué avec 66,7 % de voix
(arrondi à \(10^{-1\) près).
 1° Le compte rendu écrit 77,6 %. Le professeur remarque qu’il y a certainement une
erreur. Pourquoi ?
 2° Combien de voix Mouloud a-t-il obtenu ?

• Problème 29 de la problématique 4 :
Je rembourse un emprunt de 50 000 €, en 25 mois, à raison de 2448 € par mois. […].
Quel est le taux du prêt ?
[Le commentaire, admirable, montre qu’il faudrait résoudre une équation de degré
25, et que, sans calculatrice, on utilisera des approximations de \((1 + r)^{24}\), r étant le
taux mensuel.$$

•• Ce micro-florilège qui, de surcroît, oublie la dernière partie, richement
développée, de chaque problématique (cf. ci-dessus, leur plan) devrait montrer que
cet ouvrage devrait déjà, par ses problèmes, leur mise en situation, leurs
commentaires, susciter l’intérêt de tous les enseignants de lycée (et même de ceux
du collège !).

Il le doit plus encore par son point de vue fondamental : l’insertion dans des
classes de problèmes. Elle invite à un regard, à la fois neuf et plus approfondi sur
les programmes, et donne un sens plus fort aux activités proposées : le paysage
mathématique en est transformé, plus intelligible, plus séduisant, plus prégnant.

Ce qui n’enferme pas pour autant chaque problématique dans un monde isolé. Les
liens entre elles sont multiples et dûment signalés.

•• Voilà donc, en ses deux tomes, plus que bienvenu avec l’évolution attendue pour
le bac, un ouvrage fondamental : « un appel à l’air du large, en même temps
qu’un bon instrument pour le pilotage de la classe » – dit J.-P. Kahane, qui
ajoute : « Une fois de plus, l’APMEP témoigne de son importance pour la bonne
marche et l’avenir de notre enseignement mathématique » –.
Que nos cinq auteurs et le maquettiste Jean Barbier en soient chaleureusement
félicités, remerciés et que nous en profitions sans tarder … !

… De quoi acheter les deux tomes au plus vite

Henri BAREIL