J’ai trouvé très sympathique l’article de Claudie Missenard « Mathématiques au Palais », et j’ai cherché à en savoir un peu plus sur le problème proposé : je suis sûre que je n’ai pas été la seule ! Il s’agissait de recouvrir un damier 6 $\times$ 6 de 17 dominos, en laissant à découvert deux cases colorées en rouge, dont l’une était la case « en haut à gauche ». Les élèves trouvaient expérimentalement que le problème n’a pas toujours de solution.

C’est un bel exemple de l’efficacité des questions de parité pour résoudre certains problèmes :
la couleur des cases d’un damier est en effet une autre façon de noter la parité de la somme i+j d’une case, où i est le numéro de la ligne et j celui de la colonne. Raisonnons sur les sommes de ces nombres i+j : sur un même domino, la somme des nombres i+j est forcément impaire, où qu’il soit placé. Sur les 17 dominos, elle est donc aussi impaire. Or, sur l’échiquier entier, cette somme est paire. Elle est donc nécessairement impaire sur les deux cases restantes, les deux cases rouges. Puisqu’elle est paire sur la première case (1,1), elle est forcément impaire sur la deuxième.

Cette condition nécessaire est aussi suffisante :
prouvons l’existence d’une solution lorsque ( i+j ) est impair sur la deuxième case rouge, par exemple lorsque j est pair et i impair (on obtient l’autre cas par symétrie bien sûr). Pour cela, il suffit de montrer qu’on peut découper la zone à recouvrir en rectangles dont une dimension est paire. Or, ce n’est pas très difficile !
Et le tour est joué !

Cette preuve s’étend bien sûr à tout échiquier $n \times n$ où n est pair, couvert par dominos…

Je vais proposer ce joli petit problème à mes élèves de spécialité maths de TS, pour les convaincre de l’efficacité des remarques sur la parité !

Catherine DUFOSSÉ