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Un tour de magie pour introduire la représentation binaire des nombres.

Irem de Clermont Ferrand

- 22 janvier 2018 -

par l’IREM de Clermont-Ferrand [1]

Résumé.

Les ordinateurs manipulent des informations qui sont représentées à l’aide de 0 et de 1. Ces informations, dites binaires, permettent de représenter les nombres entiers et de faire des calculs. Dans cet article, nous proposons une activité de découverte de la représentation des nombres en binaire, accessible dès le début du collège. Nous présentons un retour d’expérience au collège. Nous donnons aussi des activités d’approfondissement (conversion et opérations arithmétiques). Mots clés. activité de découverte, activité de recherche, collège, conversion, représentation binaire des nombres, tour de magie.

Abstract.

Computers handle information represented with 0s and 1s. This so-called binary information allows them to represent numbers and to make computations. In this paper, we propose an activity aiming at the exploration of the binary representation of numbers, for children in early middle school. We present a feedback of our experimentation in middle school. We also give extension activities (conversion and arithmetic operations). Key-words : exploration activity, research activity, middle school, conversion, binary representation of numbers, magic trick.

Introduction

La représentation binaire des informations est à la base du fonctionnement des ordinateurs. Ce savoir est considéré essentiel à tous les niveaux d’enseignement par les experts et les didacticiens de l’informatique : de l’école primaire [1] à la classe de terminale scientifique dans l’enseignement de spécialité ISN (Informatique et Sciences du Numérique). Pourtant, elle n’est pas sans présenter des difficultés d’apprentissage [6] à tous les niveaux d’étude. L’intérêt de cette représentation est qu’elle n’utilise que deux symboles (0 et 1), ce qui la rend proche des composants électroniques des ordinateurs qui possèdent deux états. L’inconvénient de cette représentation —au moins du point de vue des êtres humains— est qu’elle prend beaucoup de place. Ainsi, l’écriture en binaire du nombre entier 42 utilise au moins six symboles : 101010. Pour que les élèves se forgent une image mentale correcte du fonctionnement d’un ordinateur, il est important de leur expliquer comment une machine peut, avec uniquement deux symboles, représenter toutes sortes d’informations, et entre autres des nombres. La plupart des activités proposées sur la représentation binaire des nombres se concentre sur la façon de changer de base, c’est-à-dire sur le passage de la représentation décimale (en base 10) habituelle à la représentation binaire (en base 2) et vice versa. L’objectif de cet article est de décrire une activité menant à la découverte de la représentation binaire d’un nombre entier, afin de favoriser l’apprentissage d’un des concepts fondamentaux de l’informatique. Cette activité, accessible dès le début du collège, repose sur un tour de magie, qui consiste à deviner un nombre en demandant s’il est présent ou non sur des cartes magiques. Ensuite, une fois la notion de représentation binaire des nombres entiers acquise, nous présentons d’autres activités permettant d’aller plus loin dans la manipulation des nombres en base 2 (conversion et opérations arithmétiques).

Cet article est basé sur une partie des travaux du groupe « Faire de l’informatique sans ordinateur à l’école et au collège » de l’IREM de Clermont-Ferrand et de la Maison pour la Science en Auvergne (MPSA). Ce groupe est composé d’enseignants du premier degré, d’enseignants de mathématiques du second degré et d’universitaires (informaticiens, mathématiciens et didacticiens de l’informatique). L’ensemble des ressources produites par ce groupe a été testé dans des classes de plusieurs niveaux en primaire et en collège, a été présenté plusieurs fois en formation continue à la MPSA et est téléchargeable en libre accès [2]

L’intérêt porté aux nombres binaires est un domaine ancien comme le montrent les mathématiques antiques [12], avec la multiplication binaire présente sur un papyrus datant de 1700 ans av. J.-C., l’analyse d’un texte de Gottfried Wilhelm Leibniz [9], ou encore l’ouvrage sur la préhistoire des ordinateurs [8]. Dans l’ouvrage de référence pour la spécialité ISN en Terminale S [4], les auteurs montrent comment représenter des nombres entiers et à virgule. De plus, ils proposent un algorithme pour Ajouter deux nombres exprimés en base deux. Ce thème est également abordé dans le livre pour les classes préparatoires [13] au travers du chapitre sur la représentation des nombres. L’initiation au binaire est considérée comme un incontournable dans la plupart des réflexions sur les notions à enseigner lors de l’alphabétisation à l’informatique. Les cursus des différents pays et de différents niveaux de classe la mentionnent, des moyens pédagogiques ont été depuis fort longtemps inventés pour tenter d’en faciliter la compréhension. Ainsi, dans la proposition de curriculum élaborée par la Computer Science Teachers Association [3], les nombres binaires figurent au niveau collège dans la thématique science informatique et communauté. L’association propose un certain nombre d’activités pédagogiques, dont celle présentée dans cet article. Un objectif généralement partagé est que les élèves doivent comprendre comment les 0 et les 1 peuvent être utilisés pour représenter l’information, comme les images numériques ou les nombres [10].

Ainsi, on peut trouver de multiples exemples de mise en œuvre d’un tel enseignement. Une première approche du tour de magie avec les cartes est proposée par [7]. Sur le site http://csunplugged.org , une activité avec d’autres cartes spéciales (cartes à points) permet de passer de l’écriture binaire d’un nombre à son écriture décimale et vice versa. Il est aussi proposé d’énumérer les nombres à l’aide de ces cartes, c’est-à-dire de déterminer le successeur d’un nombre représenté en binaire. Cathy Louvier et Nathalie Revol dans une classe de CM1, à l’école Guilloux de St-Genis-Laval [3] proposent plusieurs activités pour le primaire inspirées des activités du site http://csunplugged.org. Elles présentent rapidement l’activité proposée dans cet article sous la forme du tour de magie. Pour aller encore plus loin, dans le mensuel « Pour la Science » de juillet 2014, pp. 76-813, Jean-Paul Delahaye propose «  Un tour de cartes mathématique ». Ce tour de cartes utilise des cartes à jouer traditionnelles. Il est plus complexe et utilise des notions de graphes rouges et noirs. Ce tour est aussi présenté par Michel Rigo sur le site Images des Maths [4].

Contributions

Nous décrivons en détail le fonctionnement du tour de magie, puis nous donnons un retour d’expérience du déroulement de l’activité au collège. Ensuite, nous présentons une fiche permettant de convertir un nombre décimal en binaire. Afin de permettre aux élèves de pratiquer cette conversion, nous suggérons de leur faire faire des dessins mystères binaires. Enfin, nous proposons d’aller plus loin en utilisant des cartes à points pour apprendre les quatre opérations élémentaires du calcul en notation binaire. La principale différence par rapport au décimal est que les tables de multiplication et la comparaison de deux nombres sont immédiates en binaire.

Plan

La section 2 est consacrée au tour de magie. La section 3 décrit deux algorithmes de conversion d’un nombre entier entre la base 10 et la base 2. Enfin, dans la dernière section, nous décrivons des activités sur les opérations arithmétiques élémentaires en binaire.

- Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Christiane Zehren)

[1] Béatrice DROT-DELANGE, IREM de Clermont-Ferrand, Maison pour la Science en Auvergne, ACTé, Université Clermont Auvergne
Séverine FLEURY, IREM de Clermont-Ferrand, Maison pour la Science en Auvergne, Collège de la Comté, Vic-le-Comte
Pascal LAFOURCADE, IREM de Clermont-Ferrand, Maison pour la Science en Auvergne, LIMOS, Université Clermont Auvergne
Malika MORE, IREM de Clermont-Ferrand, Maison pour la Science en Auvergne, LIMOS, Université Clermont Auvergne

[2] http://www.irem.univ-bpclermont.fr/....

[3] https://pixees.fr/wp-content/upload...,

[4] http://images.math.cnrs.fr/Un-peu-d...