Sur un cercle de centre \(C\) et de rayon \(R\), on marque deux points diamétralement opposés \(O\) et \(A\). On mène par \(O\) une sécante \(OM\) faisant avec \(OA\) un angle égal à \(\varphi\), coupant le cercle en \(M\) et la tangente en \(A\) en \(P\).
\beginenumerate
\item \’Evaluer, en fonction de \(R\) et de \(\varphi\), \(OM\), \(MP\), \(AP\).
\item La tangente en \(M\) perce \(AP\) en \(T\) ; montrer que \(AT=TP=TM\).
\item La droite \(CM\) perce \(AP\) en \(Q\) ; évaluer \(PQ\) et \(MQ\) en fonction de \(\varphi\).
\endenumerate

\paragraphStrasbourg :Construire la courbe représentative des variations de la fonction :

$$y=4x^3-3x+a$$

Montrer qu’elle présente un centre de symétrie qu’on déterminera.

Comment le changement de valeur du paramètre \(a\) modifie-t-il cette courbe représentative ?

On considère l’équation :

$$4x^3-3x+a=0$$

trouver, au moyen de l’étude précédente, les conditions nécessaires et suffisnates auxquelles doit satisfaire \(a\) pour qu’elle ait trois racines réelles.

En se supposant placé dans ce dernier cas, quelles sont, lorsque \(a\) varie, la plus grande et la plus petite des valeurs que puissent prendre ces racines ?

Quelles valeurs faut-il donner à \(a\) pour que ce nombre soit une des racines de l’équation proposée ? Lorsqu’il en est ainsi, résoudre complétement cette équation.