Baccalauréat, Rennes, 1922

Michel Fréchet

Sur un cercle de centre $C$ et de rayon $R$, on marque deux points diamétralement opposés $O$ et $A$. On mène par $O$ une sécante $OM$ faisant avec $OA$ un angle égal à $\varphi$, coupant le cercle en $M$ et la tangente en $A$ en $P$. \beginenumerate \item \’Evaluer, en fonction de $R$ et de $\varphi$, $OM$, $MP$, $AP$. \item La tangente en $M$ perce $AP$ en $T$ ; montrer que $AT=TP=TM$. \item La droite $CM$ perce $AP$ en $Q$ ; évaluer $PQ$ et $MQ$ en fonction de $\varphi$. \endenumerate

\paragraphStrasbourg :Construire la courbe représentative des variations de la fonction :

$$y=4x^3-3x+a$$

Montrer qu’elle présente un centre de symétrie qu’on déterminera.

Comment le changement de valeur du paramètre $a$ modifie-t-il cette courbe représentative ?

On considère l’équation :

$$4x^3-3x+a=0$$

trouver, au moyen de l’étude précédente, les conditions nécessaires et suffisnates auxquelles doit satisfaire $a$ pour qu’elle ait trois racines réelles.

En se supposant placé dans ce dernier cas, quelles sont, lorsque $a$ varie, la plus grande et la plus petite des valeurs que puissent prendre ces racines ?

Quelles valeurs faut-il donner à $a$ pour que ce nombre soit une des racines de l’équation proposée ? Lorsqu’il en est ainsi, résoudre complétement cette équation.