par François Duc.

Dans le bulletin de l’APMEP n°480 p 60, Louis Rivoallan a formulé une conjecture relativement à la fonction Q définie par Q(M)=aire(OaObOc)/aire(ABC), où M est un point du plan ABC distinct de A,B,C et \(O_a,O_b,O_c\) sont les centres respectifs des cercles circonscrits à (MBC) (MCA) (MAB).

J’ai démontré que l’ensemble des points M tels que Q(M)=|k| (ou \(Q(M)=µ \mu\)en aires algébriques) sont des quartiques bicirculaires \((L_k)\) ou \((L_\mu)\). Cette étude a été reprise et publiée dans le BV 491 p. 724. Dans les deux versions \((L_k)\) ou \((L_\mu)\) sont définies analytiquement, mais avec des repères différents, et construites à l’aide d’un paramétrage obtenu en coupant les courbes par une droite pivotant autour de A.

N’étant pas très satisfait de la construction obtenue, j’ai trouvé un dessin de \((L_k)\) simple rapide et peu calculatoire et qui de plus met en évidence l’orthocentre H de (ABC) (on savait déjà que \((L_1)={H}\))
.
Avec GeoGebra la construction est facile (cf « dessin F.D. (Lk) et H ») :

Télécharger ce complément au format PDF :

fichiers Geogebra complémentaires

dessin FD

<geogebra18260| |showMenuBar=true |showToolBarHelp=true>

dessin BG

<geogebra18261| |showMenuBar=true |showToolBarHelp=true>

<geogebra18260| |showMenuBar=true |showToolBarHelp=true>