Examens des bourses des lycées et collèges de garçons, 1922

Michel Fréchet

1re Série A et B (pour entrer en sixième) :

  1. Un marchand achète 7 barils d’huile d’olive de chacun 120 littres au prix de 950 francs les 100 kilogrammes. Il met cette huile dans des bidons contenant chacun 1 décalitre. Mais il a, sur les 7 barils, un déchet de 20 litres. Il revend l’huile à raison de 105 francs le bidon. Quel sera son bénéfice si un litre d’olive pèse 0 kg 915 ?
  2. Un hôteleir achète 8 barriques de vin pour une certaine somme. Si chaque barrique avait coûté 150 francs de moins, il aurait pu acheter 2 barriques de plus pour la même somme. Quel est le prix d’une barrique de vin ?

2e Série A et B (pour entrer en cinquième) :

  1. Une ménagère achète, pour faire des confitures, 5 kg. 5 de groseilles à 0 fr. 40 le demi-kilogramme. Le poids du jus obtenu est les 4/5 du poids des groseilles. Ce jus est cuit avec un poids égal de sucre à 3 francs le kilogramme. Par la cuisson, le poids du mélange se réduit de 1/5. Enfin, pour faire cette cuison, la ménagère brûle 5 kilogrammes de charbon à 18 francs les 100 kilogrammes. On demande :
    • le prix de revient du kilogramme de confiture ;
    • le nombre de pots remplis, sachant qu’un pot contient 3hectogr., 52 de confitures.
  2. . Pour achetr un cheval, un vigneron vend une partie de sa récolte de vin. S’il ne vend que 4 barriques de vin, il manquera à la somme ainsi obtenue 1/25 du prix du cheval. Il vend alors 5 barriques : sur le produit de cette vente, il paye le cheval et il lui reste 300 francs. Trouver le prix du cheval et le prix de vente d’une barrique de vin.

6e Série C (pour entrer en Première C) :

  1. On considère un triangle $ABC$ dans lequel l’angle extérieur $B$ est triple de l’angle intérieur $C$, celui-ci étant inférieur à 45°.
    • Démontrer qu’on peut déterminer sur le côté $AC$ lui-même un point $D$ tel qu’en joignant $BD$, on ait $DC=BD=AB$.
    • On suppose que le triangle $ABC$ précédent est isocèle et à pour base $AB$. Démontrer que $AB$ est moyen proportionnel entre $AC$ et $AD$.
  2. Déterminer deux nombres positifs dont la somme soit égale à 17 et tels que les 3/4 du premier surpassent les 5/6 du second d’un nombre positif $a$. Entre quelles limites doit être choisi $a$ pour que le problème soit possible ?

6e Série D (pour entrer en première D) :

  1. Étant donné un parallélogramme $ABCD$, on marque sur les côtés $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ les points $E$, $F$, $G$, $H$ : pour que le quadrilatère $EFGH$ soit un paraléllogramme, il faut et il suffit que l’on ait $AE=CG$, $AH=CF$. Le démontrer.
  2. On donne un rectangle $ABCD$, avec $AB=a$, $AD=b$. On demande d’y inscrire un rectangle $EFGH$ ($E$ sur $AB$ entre $A$ et $B$, $F$ sur $BC$ entre $B$ et $C$, \ldots) tel que l’on ait $\dfrac{EF}{EH}=m$.

On prendra comme inconnues les longueurs $AE=x$, $AH=y$ ; on établira les deux équations

$$mx+y=b,\quad x+my=a;$$

on les résoudra en faisant sur $m$ l’hypothèse nécessaire ; on discutera en supposant $a\geqslant b$, $m>1$.

Examiner le cas singulier $m=1$.