par Gilbert Arsac et Michel Mante

Collection Repères pour agir, série Disciplines
Scéren-CRDP de l’académie de Lyon — 2007
198 pages en 15 × 21, prix : 14 €, ISBN : 978-2-86625-334-9

Les Propos liminaires nous rappellent que depuis 1984 l’IREM de Lyon travaille sur les « problèmes ouverts ». Une brochure parue en 1988 étant épuisée, le présent ouvrage en reprend le contenu, augmenté des résultats de vingt ans de travaux et d’expérimentations.

L’Introduction rappelle la place des résolutions de problèmes dans les mathématiques : essentielle, mais non exclusive puisque elles débouchent naturellement sur des théories unificatrices. Tandis que les Situations-problèmes visent la découverte et la systématisation de méthodes, la pratique du Problème ouvert concerne la résolution de problèmes un par un, selon la démarche Essayer-Conjecturer-Tester- Prouver. Les élèves sont placés dans la position du chercheur en mathématiques. D’abord expérimentée en collège, cette pratique s’est répandue à l’école primaire, au lycée, ainsi qu’en formation des maîtres.

La première partie, Généralités, rassemble sept chapitres. Après une définition précise du problème ouvert (énoncé court, qui n’induit ni méthode ni solution, sans questions intermédiaires, ne se réduisant pas à l’application du cours récent, mais appartenant à un domaine conceptuel familier aux élèves), on trouve quelques premiers exemples, et les condition pratiques de mise en œuvre : travail en classe, recherche par petits groupes, suivie d’un débat. La gestion de la classe occupe un chapitre entier, les instructions ou conseils donnés sont très précis. Un exemple de déroulement est narré et commenté de façon très détaillée. Sont étudiés soigneusement les critères de choix d’un énoncé, puis les effets de cette pratique sur les élèves d’une part, sur notre enseignement d’autre part. Enfin le chapitre 7 montre que le problème ouvert et la situation-problème ne sont ni identiques ni antagoniques, mais complémentaires car n’ayant pas les mêmes buts.

Dans la deuxième partie, Le problème ouvert à différents niveaux d’enseignement, on trouve huit rapports d’expérimentations en collège, un rapprochement avec la Narration de recherche (qui fait explicitement référence à la brochure APMEP/IREM de Montpellier), des exemples de problèmes ouverts à l’école primaire (élémentaire et même maternelle), en SEGPA, ainsi qu’en formation des maîtres (IUFM), où ils jouent un double rôle : formation mathématique et formation professionnelle. Le chapitre 12 traite de la pratique, en lycée, du « problème long », voisin du problème ouvert mais qui en diffère du fait que la recherche se fait surtout à la maison.

La troisième partie, «  D’autres problèmes ouverts », fournit de nombreux énoncés, classés par niveaux : 20 pour l’école élémentaire, 32 pour le collège, 9 pour le lycée.

De nombreux chapitres, ainsi que l’introduction, incluent une bibliographie.

L’ensemble de cet ouvrage est très proche du quotidien de l’enseignant (retranscription de dialogues, reproductions de copies d’élèves, …). Les réactions des élèves sont décrites et même classifiées ; les difficultés d’adaptation des enseignants sont anticipées. Tout collègue voulant se lancer dans les problèmes ouverts peut choisir un énoncé parmi ceux fournis, suivre à la lettre les prescriptions de gestion de classe, il se sentira « pris par la main », et trouvera la réponse à ses questions. Certains ressentiront peut-être un excès de directivité, une certaine rigidité, qu’il leur appartiendra d’assouplir au fur et à mesure de l’acquisition d’expérience.

Une lacune de ce travail est l’absence de toute évaluation objective de l’efficacité du dispositif, tant sur le plan des progrès individuels que sur le plan statistique des performances des classes. Mais il est clair qu’une telle évaluation ne saurait être le fait des expérimentateurs eux-mêmes.

À noter que nulle part n’est évoquée une utilisation du problème ouvert à des fins d’évaluation. Cependant l’introduction dans les sujets de baccalauréat d’un exercice où sont prises en compte prises d’initiative, essais inaboutis, solutions partielles, introduction préconisée par l’APMEP et timidement mise en œuvre dans les faits, doit être vue comme une valorisation des qualités développées par la pratique des problèmes ouverts, et donc comme une incitation à cette pratique.

Un grand bravo à l’équipe de l’IREM de Lyon pour cet outil concret et pratique de progrès dans l’enseignement des mathématiques.