Olympiades internationales

Les problèmes ci-dessous constituaient les épreuves des \(49^e\)
olympiades internationales de mathématiques qui se sont déroulées à Madrid le 17 juillet 2008.

Problème 479-1

Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus, et soit H son orthocentre. Le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [BC] coupe la droite (BC) en \(A_1\) et \(A_2\).

De même, le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AC] coupe la droite (AC) en \(B_1\) et \(B_2\) et le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AB] coupe la droite (AB) en \(C_1\) et \(C_2\). Montrer que \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\), \(B_2\), \(C_1\), \(C_2\) sont
cocycliques.

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Problème 479-2

1. Montrer que

$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2} \ge 1$$

pour tous nombres réels x, y, z différents de 1 et vérifiant xyz = 1.

2. Montrer qu’il existe une infinité de triplets de nombres rationnels x, y, z différents de 1 et vérifiant xyz = 1, pour lesquels l’inégalité ci-dessus est une égalité.

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Problème 479-3

Montrer qu’il existe une infinité d’entiers strictement positifs n tels que \(n^2+ 1\) possède un diviseur premier strictement supérieur à \(2n+\sqrt{n}\)

Problème 479-4

Trouver toutes les fonctions f :]0, +∞[ → ]0, +∞[ telles que

$$\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$

pour tous nombres réels strictement positifs w, x, y, z vérifiant \(wx = yz\).

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Problème 479-5

Soit n et k des entiers strictement positifs tels que k ≥ n et k − n est pair. On suppose données 2n lampes numérotées de 1 à 2n ; chacune peut être allumée ou éteinte. Au début, toutes les lampes sont éteintes. Une opération consiste à allumer une lampe
éteinte ou bien à éteindre une lampe allumée. On considère des séquences constituées d’opérations successives. Soit N le nombre de séquences constituées de k opérations et aboutissant à l’état où les lampes de 1 à n sont allumées et les lampes de n + 1 à
2n sont éteintes. Soit M le nombre de séquences constituées de k opérations et aboutissant à l’état où les lampes de 1 à n sont allumées et les lampes de n + 1 à 2n sont éteintes mais où les lampes de n + 1 à 2n n’ont jamais été allumées. Déterminer
le rapport N/M.

Problème 479-6

Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que AB ≠ BC. Les cercles inscrits dans les triangles ABC et ADC sont notés respectivement \(\Omega_1\) et \(\Omega_2\). On suppose qu’il existe un cercle \(\Omega\) qui est tangent à la demi-droite [BA) au-delà de A, tangent à la demi-droite
[BC) au-delà de C et qui est aussi tangent aux droites (AB) et (CD). Montrer que les tangentes communes extérieures à \(\Omega_1\) et \(\Omega_2\) se coupent en un point de \(\Omega\).

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Autres problèmes

Problème 479-7

Pour \(n \in \mathbb{N}*\) et \(x_1, x_2, .....x_n \in \mathbb{R}\), montrer que

$$ \frac{1}{n} \sum_{1 \le i \le n} \vert x_i \vert \le \frac{1}{n^2} \sum_{1 \le i,j \le n} \vert x_i+x_j \vert$$

Étudier une version continue.

Problème 479-8

Pour \(n \in \mathbb{N}*\), \(G_n\) est la moyenne arithmétique des coefficients binomiaux pour \(k \in [0, .... n]\) c’est-à-dire que \(G_n=\sqrt[n+1] {\prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}}\). Trouver \(\lim_{n \rightarrow +\infty}{\sqrt[n]{G_n}}\)

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