Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 482-1 (question de Michel LAFOND)
Un quadrilatère convexe a des côtés de mesure 6, 7, 8 et 11 et une aire de mesure 60.
Est-il inscriptible ?

Problème 482-2
Pour \(n \in \mathbb N \) et \(x, y, z \in \mathbb C\), simplifier

$$\sum_{k=1}^n {n \choose k} (x-kz)^{k-1} (y+kz)^{n-k}$$

voir l’article où est publiée une solution

Problème 482-3
Pour \(n \in \mathbb N\), on note S(n) la somme des chiffres dans l’écriture de n en base 10.
Trouver les \(k \in \mathbb N^*\) tels que la suite \(\left( S(n) \over S(kn) \right)_{n \in \mathbb N^*} \) soit majorée.
Des réponses partielles sont bienvenues.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 482-4
Dans le développement asymptotique

$$\sum_{k=1}^n k \ln(k) =_{ n \to \infty} {1 \over 2} n^2 \ln(n)-{1\over 4}n^2+ {1 \over 2} n \ln(n)+{1 \over 12}\ln(n)+O(1)$$

montrer que le terme d’erreur tend vers \({1 \over 12}- \zeta’(1)\) où \( \zeta\) est la fonction de Riemann.
Pour une motivation de cette question, on pourra lire le corrigé du problème 479-8 dans les lignes qui suivent.

Solutions des problèmes antérieurs

Solution du problème 479-8
Pour \(n \in \mathbb N*, G_n\) est la moyenne géométrique des coefficients binomiaux pour \(k \in [1]\), c’est-à-dire que \(G_n=\sqrt[n+1]{\prod_{i=1}^n} {n \choose k}\).
Trouver \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{G_n}\)

<redacteur|auteur=500>