Enoncés des nouveaux problèmes

Problème 484-1 (question de Michel LAFOND)

Résoudre dans \(\mathbb Z^*\) l’équation \(a^2 + b^3 = c^4\).

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Problème 484-2

Soit G un groupe.
Un élément g \(\in\) G est dit mou si pour toute partie A \(\subset\) G génératrice de G, A – \(\{g\}\) reste génératrice.
Montrer que l’ensemble des éléments mous est un sous-groupe de G.
Trouver les éléments mous des groupes \(\mathbb Z\) et \(\mathbb Q\), puis \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) pour n \(\in \mathbb N^*\).

voir l’article où est publiée une solution

Problème 484-3 (extrait du Concours Général 2008-2009)
On considère des entiers a, b, n supérieurs ou égaux à 2 et une suite finie à n termes U = (\(u_1, …, u_n\)).

1. On suppose que a et b ont un pgcd égal à d. Montrer que si a et b sont des périodes de U et si n \(\ge\) a + b − d alors U admet d pour période.
2. On suppose a et b premiers entre eux. Montrer que l’on peut partager l’intervalle
   d’entiers \([~![ 1, a + b - 2 ]~!]\) en deux sous-ensembles non vides A et B de manière que la suite V égale à 1 sur A et 0 sur B soit de périodes a et b. Le partage obtenu est-il unique ? Montrer que pour tout x de A, a + b − 1 − x est dans A. Quelle
   propriété de la suite V traduit-on ainsi ?

Problème 484-4 (extrait du Concours Général 2008-2009)
Trouver les fonctions f : \(\mathbb R \longrightarrow\) [−1,1] solutions de l’équation fonctionnelle

$$f (2x) = 2f(x)^2 - 1.$$

telles que \({{1-f(x)}\over x^2}\) admette une limite quand x tend vers 0 et vérifiant f (0) = 1.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 479-1
Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus, et soit H son orthocentre. Le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [BC] coupe la droite (BC) en \(A_1\) et \(A_2\).
De même, le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AC] coupe la droite (AC) en \(B_1\) et \(B_2\) et le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AB] coupe la droite (AB) en \(C_1\) et \(C_2\). Montrer que \(A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2\) sont cocycliques.

Raymond Raynaud (Digne) propose la même approche que Jean-Claude Carréga.
Il remarque que l’égalité \(OA’^2 - OB’^2 = HB’^2 − HA’^2\) résulte du fait que, dans le cercle des neuf points (ou cercle d’Euler), les deux cordes parallèles [A’B’] et [C’\(H_1\)] ont même médiatrice.

Problème 479-2

1. Montrer que

   $${x^2 \over {(x-1)^2}}+ {y^2 \over {(y-1)^2}} +{z^2 \over {(z-1)^2}} \ge 1$$

   pour tous nombres réels x, y et z différents de 1 et vérifiant xyz = 1
2. Montrer qu’il existe une infinité de triplets de nombres rationnels x, y, z différents de 1 et vérifiant xyz = 1 pour lesquels l’inégalité ci-dessous est une égalité.

Problème 479-4
Trouver toutes les fonctions f : ]0 ;+\(\infty\)[ \(\longrightarrow\) ]0 ;+\(\infty\)[ telle que

$${{f(w)^2+f(x)^2} \over {f(y^2)+f(z^2)}} ={{w^2+x^2} \over {y^2+z^2}}$$

pour tous nombres réels w,x, y, z vérifiant wx = yz.

<redacteur|auteur=500>