Enoncés des nouveaux problèmes

Problème 484-1 (question de Michel LAFOND)

Résoudre dans $\mathbb Z^*$ l’équation $a^2 + b^3 = c^4$.

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Problème 484-2

Soit G un groupe.
Un élément g $\in$ G est dit mou si pour toute partie A $\subset$ G génératrice de G, A – $\{g\}$ reste génératrice.
Montrer que l’ensemble des éléments mous est un sous-groupe de G.
Trouver les éléments mous des groupes $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$, puis $\mathbb Z/n\mathbb Z$ pour n $\in \mathbb N^*$.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 484-3 (extrait du Concours Général 2008-2009)
On considère des entiers a, b, n supérieurs ou égaux à 2 et une suite finie à n termes U = ($u_1, …, u_n$).

1. On suppose que a et b ont un pgcd égal à d. Montrer que si a et b sont des périodes de U et si n $\ge$ a + b − d alors U admet d pour période.
2. On suppose a et b premiers entre eux. Montrer que l’on peut partager l’intervalle
   d’entiers $[~![ 1, a + b - 2 ]~!]$ en deux sous-ensembles non vides A et B de manière que la suite V égale à 1 sur A et 0 sur B soit de périodes a et b. Le partage obtenu est-il unique ? Montrer que pour tout x de A, a + b − 1 − x est dans A. Quelle
   propriété de la suite V traduit-on ainsi ?

Problème 484-4 (extrait du Concours Général 2008-2009)
Trouver les fonctions f : $\mathbb R \longrightarrow$ [−1,1] solutions de l’équation fonctionnelle

$$f (2x) = 2f(x)^2 - 1.$$

telles que ${{1-f(x)}\over x^2}$ admette une limite quand x tend vers 0 et vérifiant f (0) = 1.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 479-1
Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus, et soit H son orthocentre. Le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [BC] coupe la droite (BC) en $A_1$ et $A_2$.
De même, le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AC] coupe la droite (AC) en $B_1$ et $B_2$ et le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AB] coupe la droite (AB) en $C_1$ et $C_2$. Montrer que $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ sont cocycliques.

Raymond Raynaud (Digne) propose la même approche que Jean-Claude Carréga.
Il remarque que l’égalité $OA’^2 - OB’^2 = HB’^2 − HA’^2$ résulte du fait que, dans le cercle des neuf points (ou cercle d’Euler), les deux cordes parallèles [A’B’] et [C’$H_1$] ont même médiatrice.

Problème 479-2

1. Montrer que

   $${x^2 \over {(x-1)^2}}+ {y^2 \over {(y-1)^2}} +{z^2 \over {(z-1)^2}} \ge 1$$

   pour tous nombres réels x, y et z différents de 1 et vérifiant xyz = 1
2. Montrer qu’il existe une infinité de triplets de nombres rationnels x, y, z différents de 1 et vérifiant xyz = 1 pour lesquels l’inégalité ci-dessous est une égalité.

Problème 479-4
Trouver toutes les fonctions f : ]0 ;+$\infty$[ $\longrightarrow$ ]0 ;+$\infty$[ telle que

$${{f(w)^2+f(x)^2} \over {f(y^2)+f(z^2)}} ={{w^2+x^2} \over {y^2+z^2}}$$

pour tous nombres réels w,x, y, z vérifiant wx = yz.

<redacteur|auteur=500>