Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 491 - 1

Soit F la suite de Fibonacci définie par $F_0= 0, F_1= 1$ et $F_{n+2}= F_{n+1}+ F_n$.
Montrer que pour n ≥ 1,

$$\prod_{k=1}^{n} F_k\le \frac{1}{n !}\exp(F_{n+4}-2n-2)$$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 491 - 2 (Question de Fernand Canonico)

Soit P un polynôme complexe de degré n ≥ 1. Pour $\omega \in \mathbb C$, soit $v_\omega$ le nombre de solutions complexes de l’équation $P(z) = \omega$. Montrer que

$$\sum_{\omega \in \mathbb C}(n-v_\omega)=n-1$$

Problème 491 - 3

Trouver toutes les suites strictement croissantes d’entiers $(u_n)_{n\ \mathbb N}$ vérifiant les conditions suivantes pour tout $n \in \mathbb N *$ :

1. $u_{2n}= 2u_n$
2. si $u_n$ est premier, n est premier.

Erratum

Je remercie Maurice Bauval (Versailles) qui me signale une erreur de frappe dans le bulletin 488. Pages 363 et 384, il faut lire $R=\frac{5}{24}\sqrt{793}=5.866719933$

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 484-1 (question de Michel Lafond)

Résoudre dans $\mathbb Z *$ l’équation $a^2 + b^3 = c^4$.

télécharger la solution de Pierre Renfer (Saint George d’Orques)

Remarque

télécharger la solution de Michel Lafond (Dijon)

télécharger le commentaire de Vincent Thill (Migennes)

Problème 485-1 (Olympiades internationales 2009)

Soit n un entier strictement positif et soit $a_1, \dots, a_k$, avec k ≥ 2, des entiers distincts appartenant à l’ensemble $ [1]$ tels que n divise $a_i(a_{i+1}-1)$ pour $i \ in [2]$.
Montrer que n ne divise pas $a_k (a_1-1)$

télécharger la solution de Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève)

Problème 486-1

Soit P et Q deux polynômes à coefficients entiers relatifs et sans racine complexe commune. Pour $n \in \mathbb Z$, on désigne par $u_n$ le pgcd de P(n) et Q(n). Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb Z}$ est périodique.

Solutions de Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge), Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), Moubinool Omarjee (Paris), Pierre Renfer (Saint George d’Orques).

télécharger la solution et ses commentaires

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