Adhérer ou faire un don

Les problèmes du BV 521

et solutions des problèmes 508-2 et 509-3

Hochart Max

Cette rubrique contient les problèmes 521-1, 521-2 (études de suites définies par récurrence), 521-3 (nombre de sommes distinctes obtenues en lançant un dé à six faces) ; ainsi que les solutions des problèmes 508-2 (convergence d’une suite d’opérateurs) et 509-3 (étude d’un ensemble de points définis par une suite).

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 521-1

On pose $p _2 = 1$ et pour $n \in \mathbb{N} - \{0, 1\}$ , $p_{n+1}=p_n \left( 1-\dfrac{p_n}{n}\right)$. Étudier la suite $\left( p_n\right) _{n\geq2}$ : convergence ou divergence, équivalent, développement asymptotique, interprétation probabiliste, etc.

voir le BV où est publiée la solution

Problème 521-2

Pour quelles valeurs de $a \in \mathbb{R}$ peut-on définir une suite en posant $u_0 = a$ et $u_{n+1}= u_n ^{3/2}-1$ ?

voir le BV où est publiée la solution

Problème 521-3 (Michel Lafond, Dijon)

On note $[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]$ le dé qui porte sur ses faces les entiers $\left( a_i \right) _{1\leq i\leq 6}$ avec

$$1 \leq a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 .$$

On note $S_n \left( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \right) $ le nombre de sommes distinctes que l’on peut obtenir en lançant $n$ fois le dé $[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]$ .

1. Montrer que, pour tout dé, $S_n \left( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \right) \leq {n+5 \choose 5}$ .

2. Pour tout entier $n ≥ 1$, démontrer que ce maximum est atteint.

3. Pour $n \in \{2, 3, 4, 5 \}$, trouver des dés $[a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]$ avec $a_6$ minimal tels que $S_n \left( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \right) \leq {n+5 \choose 5}$ .

Voici un exemple : pour $n = 2$, le maximum ${7\choose 5} = 21$ est atteint avec le dé [1, 2, 5, 11, 13, 18] qui, lancé deux fois, peut donner les 21 sommes

2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 26, 29, 31, 36 et $a_6 = 18$ est le minimum possible.

voir le BV où est publiée la solution

Erratum 1 – Dans le bulletin 520, les problèmes étaient évidemment mal numérotés.
Ils devaient porter les numéros 520-1, 520-2 et 520-3. Mea culpa.
Erratum 3 – Toujours dans le bulletin 520, une erreur de signe s’est glissée lors de la mise en page. Non mea culpa. Voici l’énoncé correct :

Problème 520 - 1 (Vincelot Ravoson, Lycée Henri IV, Paris)
Soit $a$, $b$, $c$ des réels positifs tels que $ab +bc+ac=1$. Montrer que :

$$abc \geq \dfrac{1}{12}\left( a+b - |a-b| +2c- |a+b-|a-b|-2c| \right).$$

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 508-2 (Isao Sauzzede, ENS Lyon)

Soit $E = \mathcal C$ ([0 ; 1], $\mathbb R$ ) l’ensemble des applications réelles continues sur [0,1]. On définit une application $\tau$ : $E \rightarrow E$ de la façon suivante : pour $f \in E$,

$$ \tau (f) = \left| f- \int_{0}^{1} f(t)dt \right |. $$

Pour $n \in \mathbb {N}$, on note $\tau^n$ la fonction $\tau$ itérée n fois $\tau \circ \tau \circ \tau \circ... \tau$ . Pour $f \in E$, étudier la convergence (simple, uniforme) de la suite de fonctions $(\tau^n (f))_{n \in \mathbb N}$

Solution de Fernand Canonico (Clermont-Ferrand) et Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques

Problème 509–3 (Michel Lafond, Dijon)

Si n est un entier supérieur ou égal à 3, on pose $A=2 \sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on définit la suite de points $(M_k(x_k,y_k))_{k \in \mathbb N}$ par

$$M_0(1,0)$$

et pour k ≥ 1 (attention aux indices),

$$x_k=x_{k-1}-Ay_{k-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_k=y_{k-1}-Ax_k.$$

Par exemple, pour n = 8, voici les 9 premiers points de la suite :

(1) Montrer que cette suite de points est périodique de période n.
(2) Montrer que tous les points de la suite sont situés sur une même ellipse.
(3) Montrer que l’aire du polygone ($M_0M_1…M_{n-1}$) est comprise entre $\pi - \frac{\pi^3}{6n^2}$ et $\pi$

Solution de Michel Bataille (Rouen), Maurice Bauval (Versailles), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg), Marie- Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Michel Lafond (Dijon), Étienne Lefaux (Lille), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

- Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)