Solutions des problèmes antérieurs

Problème n°280 (Dominique ROUX, 87 - Limoges)
Soit S l’ensemble des entiers k ≥ 2 tels qu’il existe k entiers consécutifs, (n + 1),
(n + 2), ..., (n + k), n ≥ 0, dont la somme des carrés soit un carré parfait :

$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$

a) Montrer que l’ensemble S est infini, et qu’il existe une infinité d’entiers qui n’appartiennent pas à S
b) Montrer qu’il existe des entiers k ∈ S tels que l’équation :

$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$

admette une infinité de couples solutions (n, m), et qu’il existe d’autres entiers $k \in S$
tels que cette même équation n’admette qu’un nombre fini de solutions.

SOLUTION de Pierre SAMUEL (92 - Bourg la Reine).
D’autres solutions à ce problème ont été publiées dans le bulletin 438, janvier -février 2002, p. 131 à 135. La solution approfondie de Pierre Samuel mérite un traitement particulier, mais il n’est pas possible de la publier intégralement. Je me suis donc permis de la condenser en tenant compte de ce qui est paru dans le précédent bulletin.

<redacteur|auteur=500>