Solutions des problèmes antérieurs

Problème n°280 (Dominique ROUX, 87 - Limoges)
Soit S l’ensemble des entiers k ≥ 2 tels qu’il existe k entiers consécutifs, (n + 1),
(n + 2), ..., (n + k), n ≥ 0, dont la somme des carrés soit un carré parfait :

$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$

a) Montrer que l’ensemble S est infini, et qu’il existe une infinité d’entiers qui n’appartiennent pas à S
b) Montrer qu’il existe des entiers k ∈ S tels que l’équation :

$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$

admette une infinité de couples solutions (n, m), et qu’il existe d’autres entiers \(k \in S\)
tels que cette même équation n’admette qu’un nombre fini de solutions.

SOLUTION
Une autre solution est donné dans le BV 441

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