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Les problèmes du bulletin vert

Et solutions du problème n°280

Solutions des problèmes antérieurs

Problème n°280 (Dominique ROUX, 87 - Limoges)
Soit S l’ensemble des entiers k ≥ 2 tels qu’il existe k entiers consécutifs, (n + 1), (n + 2), ..., (n + k), n ≥ 0, dont la somme des carrés soit un carré parfait :

$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$

a) Montrer que l’ensemble S est infini, et qu’il existe une infinité d’entiers qui n’appartiennent pas à S
b) Montrer qu’il existe des entiers k ∈ S tels que l’équation :

$$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$

admette une infinité de couples solutions (n, m), et qu’il existe d’autres entiers $k \in S$ tels que cette même équation n’admette qu’un nombre fini de solutions.

SOLUTION
Une autre solution est donné dans le BV 441

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)