2^e édition, sous la direction de Jean-Pierre Ramis et André Warusfel

Dunod, 2013
Format : 17 x 25
Tome 1 : 880 pages, Prix : 36 €, ISBN : 978-2-10-059893-9
Tome 2 : 1024 pages, prix : 45 €, ISBN : 978-2-10-071021-8

Il s’agit d’un cours complet, avec démonstrations de tous les résultats (sauf les plus faciles, « laissées au lecteur », et quelques unes, des plus délicates, renvoyées à d’autres ouvrages des auteurs principaux). Un tome 3, « L2-L3 » était annoncé pour 2014, mais à l’heure où j’écris (avril 2015), il n’est pas paru.

L’équipe des auteurs est formée de : Xavier Buff, Emmanuel Halberstadt, François Moulin, Jacques Sauloy (tomes 1 et 2), Josselin Garnier, Thomas Lachand-Robert (tome 1), Monique Ramis (tome 2).

Le tome 1 est divisé en 20 modules, regroupés en 5 parties :

• I. Notations et vocabulaire
  Fondements.
• II. Algèbre
  Arithmétique ; Groupes, anneaux, corps ; Espaces vectoriels et applications linéaires ; Calcul matriciel élémentaire ; Le corps des nombres complexes ; Polynômes et fractions rationnelles ; Espaces vectoriels de dimension finie ; Initiation à l’algorithmique et au calcul formel.
• III. Géométrie
  Géométrie dans les espaces affines ; Courbes paramétrées.
• IV. Analyse
  Nombres réels, suites numériques ; Fonctions réelles ; Fonctions transcendantes ; Séries numériques ; Introduction à l’intégration ; Introduction aux fonctions vectorielles d’une variable réelle ; Première initiation aux fonctions de plusieurs variables ; Approximation.
• V. Probabilités, statistiques
  Statistiques élémentaires et probabilités finies.

Le tome 2 contient 16 modules, en 2 parties :

• I. Algèbre
  Compléments d’algèbre ; Actions de groupes ; Algèbre bilinéaire ; Espaces préhilbertiens ; Réduction des matrices ; Groupes classiques ; Polynômes à plusieurs indéterminées ; Structures discrètes et récursivité.
• II. Analyse
  Espaces vectoriels normés ; Suites et séries de fonctions ; Intégration ; Séries de Fourier ; Fonctions de plusieurs variables ; Fonctions analytiques ; Équations différentielles ; Méthodes numériques.

Chaque tome se termine par un Index ; le tome 2 contient en plus une Bibliographie, et vingt pages d’indications pour les exercices.

De nombreux exercices corrigés sont intégrés au cours ; à la fin de chaque module on trouve un exercice-type, également corrigé, et de nombreux énoncés dont les corrigés sont en ligne sur le site de l’éditeur ; soit en tout 700 et 900 exercices, respectivement pour les tomes 1 et 2.

Dans sa préface, le médaillé Fields Alain Connes fustige le pédagogisme et affirme qu’« on n’apprend pas les mathématiques en s’amusant ». Il présente l’ouvrage comme « un ouvrage de référence pour la licence ».

Il y a lieu de comprendre cette expression non pas comme les savoirs basiques, indispensables à tout étudiant, mais bien au contraire comme l’inventaire exhaustif de toutes les notions qui peuvent éventuellement être rencontrées à ce niveau, avec l’approfondissement maximal raisonnablement envisageable. Par exemple, on trouve dès le niveau L1 une construction de $$\(\mathbb{R}\), qui est pourtant hors programme en CPGE et au CAPES.

La rédaction n’est pas linéaire : souvent, des démonstrations font appel à des résultats situés plus loin dans l’ouvrage ; ce qui n’est pas sans poser quelque problème à celui qui voudrait vérifier l’absence de cercle vicieux (les auteurs nous affirment qu’il n’y en a pas, et je n’en ai pas trouvé, mais l’essence même des mathématiques ne contient-t-elle pas le refus de l’argument d’autorité ?). Tous les axiomes utilisés sont nettement précisés, la plupart dans le premier module de L1 : « Fondements », sans être regroupés en une liste. L’ordre de lecture des modules n’est pas imposé ; dans le tome 1, un graphe indique les différents parcours possibles. La plupart du temps, la progression va du général vers le particulier. Certaines sections sont signalées comme pouvant être sautées en première lecture.

Les démonstrations sont parfois assez difficiles à suivre du fait de renvois à plusieurs résultats par indication de leurs numéros et pages, sans rappel de leur contenu.

L’ouvrage est parsemé de «  Points d’Histoire » ainsi que de «  Points-méthode  ». Les risques d’erreurs sont signalés par une icône. L’introduction de chaque module retrace l’origine historique des notions qui vont être abordées, et s’attache à en donner une idée intuitive, à leur donner du sens, souvent en relation avec leurs applications, notamment en mécanique et physique. Le regard nouveau sur les problèmes et théories apporté par l’algorithmique est pris en compte chaque fois que nécessaire. Les auteurs ont tenté, et globalement réussi, la synthèse entre une approche « bourbakiste » (construction rigoureuse et axiomatisée, formalisme) et un souci pédagogique de permettre à l’étudiant une appropriation des connaissances.

L’énorme « mine » d’exercices contenue dans l’ouvrage recouvre à peu près tous les types et niveaux possibles, des applications directes du cours (assez rares) aux problèmes les plus « pointus », en passant par les « grands classiques » ; certains ont une formulation « ouverte » : « Quel rapport y a-t-il entre …. ». Les corrigés sont clairs et rigoureux, certains proposent plusieurs méthodes.

Le seul manque que j’ai ressenti est l’absence d’une prise en main « en douceur » des néo-bacheliers, dont une bonne part risque d’être désarçonnée par le brusque saut du niveau d’abstraction et de rigueur qui leur est imposé ; ce qui est à la portée d’élèves de CPGE, sélectionnés sur des résultats nettement au dessus de la moyenne, n’est pas forcément à celle d’admis sans mention ! Mais ceux-ci doivent pouvoir « passer le cap » avec l’aide d’enseignants dévoués, qui leur diront aussi que ce contenu n’est pas exigible dans sa totalité. Il existe au moins un agrégé de mathématiques (moi !) qui en ignore des pans entiers.

Une autre petite gêne vient du fait que les énoncés de théorèmes ou définitions, sur fond grisé, n’explicitent pas toujours toutes les notations employées, et obligent à chercher leur signification en amont.

Bien entendu, il subsiste en outre quelques défauts de détail, inévitables dans un travail de cette ampleur : quelques rares coquilles et erreurs (t.1, page 124, prop 15, S est contenu dans, et non « contient  », tout sous-groupe contenant S ; t.2, page 484, ligne10 : « ou » au lieu de « et »), quelques omissions dans l’index (homéomorphisme en L1, difféomorphisme en L2).

En résumé, ce manuel monumental me semble être un excellent outil, une ressource précieuse, pour les étudiants de licence motivés et courageux, ainsi que pour leurs enseignants, mais aussi pour les élèves de CPGE, et les candidats au CAPES et à l’agrégation.