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Problèmes de lieux - Problèmes de construction

Bernard Destainville [1]

Résumé

L’article [2] se propose d’insister sur les deux aspects complémentaires (étude directe - étude réciproque ; analyse - synthèse) des problèmes de lieux et de constructions. Trois exemples, deux problèmes de constructions et un problème de lieux géométriques sont traités en détail. Une annexe montre qu’un logiciel de géométrie dynamique comme Cabri peut être d’un grand secours pour explorer des situations simples et en montrer la richesse.

Plan de l’article

  • Énoncé I : soient un point A et une droite D du plan. Construire un cercle de rayon r passant par A et tangent à D.
  • Énoncé II : d et d’ sont deux droites parallèles et A un point du plan entre d et d’.
    Construire un triangle ABC, rectangle en A, avec B sur d et C sur d’, de telle sorte que la droite (BC) soit perpendiculaire à d.
  • Énoncé III : Soit un segment [AB] et M un point quelconque du plan. Tracer la perpendiculaire à (MA) en A et la perpendiculaire à (MB) en B. Lorsque ces deux droites sont sécantes, on appelle P leur point d’intersection et I le milieu du segment [MP].
    1) Pour quelles positions de M le point P existe-t-il ?
    2) Quel est le lieu géométrique de I ?
    3) Quel est le lieu géométrique de P lorsque M décrit une droite d perpendiculaire à (AB) ?
  • Énoncé IV : (O) est un quart de cercle de centre O et d’extrémités A et B. Pour tout point T de (O) distinct de B, la tangente en T à (O) coupe la demi-droite [OA) en M. P est le point de la demi-droite [MT) tel que MP = MO. Trouver le lieu géométrique de P lorsque T décrit (O).
  • ANNEXE : Indépendamment de ce thème, revenons sur l’Exercice III pour en souligner la richesse.

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] Irem de Toulouse.

[2] Article rédigé à partir du compte rendu d’un atelier du colloque de la commission inter- Irem de géométrie à Liège (15-16-17 mai 2003). Je remercie très vivement Henri Bareil et Jean-Pierre Friedelmeyer pour leurs participations judicieuses à la rédaction de cet article.