503

Problèmes du BV 503 et solutions des 495-2 et 496-3

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 503–1 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg))
Démontrer les formules trigonométriques suivantes et en proposer d’autres :

$$ \tan\left( \frac{3 \pi}{7}\right) - 4\sin\left( \frac{\pi}{7}\right)=\sqrt 7 ;$$


$$ \tan\left( \frac{3 \pi}{11}\right) + 4\sin\left( \frac{2 \pi}{11}\right)=\sqrt 11 ;$$


$$ \tan\left( \frac{5 \pi}{19}\right) + 4\sin\left( \frac{2 \pi}{19}\right)- 4\sin\left( \frac{3 \pi}{19}\right)+ 4\sin\left( \frac{8 \pi}{19}\right)=\sqrt 19 ;$$

voir l’article où est publiée une solution

Problème 503–2 (Ghali Lalami (Marrakech))
On fixe un entier naturel m ≥ 2. Montrer que l’on peut trouver des entiers relatifs \(n_1, …, n_{m-1}\) tels que

$$\arctan(m)=\sum_\limits{k=1}^{m-1} n_k \arctan (k)$$


si et seulement si les facteurs premiers de \(m^2 + 1\) sont plus petits que 2m.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 503–3
On considère un entier \(n \in \mathbb N\)* , un nombre premier p ≥ 3 et un sous-groupe fini G du groupe \(GL_n(\mathbb Z)\) des matrices inversibles de taille n à coefficients entiers. Enfin, \(\mathbb F_p\) est le corps \(\mathbb Z/p \mathbb Z\) . Montrer que l’application naturelle \(\left\{ \begin{array}{l} G \rightarrow GL_n(\mathbb F_p) \\ A \mapsto A \mod p \end{array} \right.\)
est injective.

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 495-2
Calculer le déterminant de la matrice \(A(i⋁j)_{1\le i,j\le n}\) où, pour deux entiers naturels i, j, le symbole ij désigne le ppcm de i et j.

Réponses de Raymond Heitz (Piriac) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

Problème 496–3

Trouver toutes les fonctions \(f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) continues telles que, pour tout réel x,

$$f(f(x))+x=2f(x)$$

Réponses de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Marie-Laure Chaillout (Épinay
sur Orge), Bernard Collignon (Coursan), François Couloigner (Tarbes),
François Coulombeau (Riom), Raymond Heitz (Piriac), Paul Péchoux (Valdoie),
Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).

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