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Problèmes du BV 518

et solutions des problèmes 505-2, 505-4 et 506-3

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 518-1 (Michel Lafond) (Dijon)

Trois carrés sont inscrits dans un grand carré dont le côté mesure 223 cm comme sur la figure (1) ci-dessous. Trois de leurs côtés sont alignés et le côté du carré intermédiaire mesure 105 cm. Calculer les mesures des côtés des deux petits carrés.

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Problème 518-2 (Jean-Pierre Friedelmeyer, Strasbourg)

Déterminer tous les polynômes du troisième degré à coefficients rationnels dont toutes les racines ainsi que celles du polynôme dérivé sont des entiers relatifs.

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Problème 518-3

Soit $A$ , $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_ n (\mathbb{ C} )$ telles que $AB + BA = 0$ . Calculer, pour tout entier $p \in \mathbb{N}$ , $(A+B)^p$.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 505-2 (Pierre Renfer, Saint Georges d’Orques)

Après une soirée dans un pub, $n$ lords récupèrent leurs chapeaux au vestiaire de façon aléatoire. À la sortie du pub, la fraîcheur de la nuit leur permet de retrouver un peu leurs esprits et ils décident de continuer la fête. Chaque lord pose ses mains sur les épaules de celui qui porte son chapeau. Se forment ainsi des chenilles fermées (où un lord portant son propre chapeau forme une chenille à lui tout seul). Calculer l’espérance et la variance du nombre de chenilles.

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Autres solutions :

Pierre Carriquiry (Clichy), Michel Lafond (Dijon).

Problème 505-4

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Soit $K$ un compact de $\mathbb{ R}^n$ connexe par arcs. Montrer que $K$ ne peut pas s’écrire comme une réunion dénombrable disjointe de fermés (non triviale, c’est-à dire-autre que $K = K$). Ici, dénombrable signifie finie ou infinie dénombrable.

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Remarque Une seule solution reçue, de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

Nota Bene :cet exercice trouve sa source dans le volume Topologie Générale, de Nicolas Bourbaki (chapitres 5 à 10), sous l’appellation « espace inépuisable » : un espace topologique est inépuisable s’il n’est pas réunion dénombrable de fermés non vides deux à deux disjoints. On trouve également dans le livre de Topologie de Hervé Queffeléc l’exercice suivant : un espace topologique connexe, localement connexe, dont les fermés non vides sont des espaces de Baire, est un espace inépuisable. Cet exercice fut donné à l’oral d’ULM à un de mes anciens élèves, il y a environ 5 ans…

Problème 506-3 (George Gras, Le Bourg d’Oisans)

Soit $p$ un nombre premier tel que $p \equiv -1 \bmod 8$ . On considère une solution $(x, y) \in \mathbb{Z}^ 2$ de l’équation de Pell Fermat :

$$x^2 - py^2 =1.$$

Montrer que 8 divise $x$ ou $y$. Dans le second cas (où 8 divise $y$), montrer que $(x, y)$ est donnée par une relation de la forme $x+y\sqrt{p}= \pm u \left(u+v\sqrt{p}\right)^2$ avec $u, v \in \mathbb{Z}$ .

Solution de Jean-Claude Carréga (Lyon)
Autres solutions :

George Gras (Le Bourg d’Oisans), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)