Problème 480-1

Montrer que la distance minimale entre un point du cercle de rayon r > 0 centré en
l’origine et un point du réseau \( \mathbb{Z} \) tend vers 0 quand r tend vers \(+\infty\).

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Problème 480-2

Pour \( n \in \mathbb{N^{*}}\), \(S_n\) désigne le groupe des permutations de l’ensemble [1,n]. Pour
chaque permutation \(\sigma \in\ S_n\) on note \(\omega(\sigma )\) le nombre d’orbites de \(\sigma\) . Factoriser le
polynôme

\(P_ {n}(X) = \sum _{\sigma \in\ S_n} X^{\omega(\sigma )}\)

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Problème 480-3 (question de Fernand Canonico)

Soit k, \(n \in\mathbb{N}\). Est-il vrai que le n-ième terme de la suite de Fibonacci (définie par
\(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\), \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}\)) est divisible par \(5^k\) si et seulement si n l’est ?

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