François LO JACOMO

Énoncés des nouveaux problèmes

Énoncé n° 299 (Abderrahim OUARDINI, 33-Talence)

Étant donnés \(n\) points sur une sphère (S) de rayon R, \(n ≥ 3\), on en choisit deux, et l’on
construit le plan perpendiculaire à leur segment et passant par l’isobarycentre des
\((n − 2)\) restants.
Montrer que tous les plans ainsi construits ont un point commun, et que la puissance
de ce point par rapport à (S) vaut :

$$ \dfrac{4(n-1)R^2 - K}{(n-2)^2}$$

où K est la somme des carrés des distances mutuelles des \(n\) points.
voir le BV où est publiée la solution

Énoncé n° 300 (Moubinool OMARJEE, 75-Paris)

Soit \( a_n\) , pour \(n ≥ 1\), une suite d’entiers naturels tels que :

$$ \sum_\limits{d|n} a_d = 2^n .$$

Montrer que pour tout \(n\), \(n\) divise \(a_n\) .
voir le BV où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Énoncé n° 291 (François LO JACOMO, 75-Paris)

Soit ABC un triangle, O et \(R\) le centre et le rayon du cercle circonscrit, H
l’orthocentre et H ′ le symétrique de H par rapport à O. Montrer que le cercle inscrit
et les trois cercles exinscrits sont intérieurs au cercle de centre H ′ et de rayon \(4R\).
Peut-on améliorer ce résultat ?

Solution

Énoncé n° 292 (Jean FARGEAS, 17-La Rochelle et Hassan TARFAOUI, 86-Poitiers)

Soit trois réels \(a, b, c\) strictement positifs tels que \(a + b + c = 1\). Démontrer que :

$$\left( a+\frac{1}{a}\right) ^2 + \left( b+\frac{1}{b}\right) ^2 + \left( c+ \frac{1}{c}\right) ^2 \ge \frac{100}{3} $$

Comment peut-on généraliser cet exercice ?

Solution

<redacteur|auteur=1067>