Baccalauréat, Alger, Juillet 1921

Michel Fréchet

On donne une sphère de rayon $R$ ayant pour grand cercle le cercle $O$, et dans le plan du cercle un point fixe $A$ à l’intérieur de ce cercle ($OA=a$). Par le point $A$ on mène un plan perpendiculaire au plan de la figure et dont la trace est la corde $BD$. Ce plan coupe la sphère suivant un cercle $\cal C$. On considère le cône ayant pour base le cercle $\cal C$ et pour sommet un point fixe $S$ pris sur $OA$ ($OS=b$).

  1. Exprimer le volume du cône en fonction de l’angle $OAC=x$.
  2. Étudier la variation de ce volume quand $x$ varie (Représentation graphique). Construire géométriquement la position de la corde $BD$ pour laquelle le volume est maximum.

(Le plan de la figure est le plan du cercle $O$ ; le point $S$ est représenté extérieur au cercle $O$ et sur le prolongement du rayon $OA$ ; les droites $SB$, $SD$ et $OC$ — $C$ milieu de $DB$ — sont tracées sur la figure).