Ecoles Normales Supérieures de Fontenay et St Cloud

Sommaire

$n$ étant un nombre entier positif, on considère la fraction :

$$\frac{n^2-n+41}{n^2+n+17}$$

Comparer, suivant les valeurs de $n$, cette fraction au nombre 1 puis au nombre 3.
Montrer que la fraction se simplifie quand le reste de la division de $n$ par 173 est égal à 12.
$x$ étant un nombre algébrique, qui peut prendre toutes les valeurs possibles, on considère l’expression :

$$y=\frac{x^2-x+41}{x^2+x+17}$$

- Les valeurs de $x$ pour lesquelles $y$ est égal à un nombre donné $b$ sont les racines d’une équation du second degré.
- Calculer à 0,01 près les limites entre lesquelles $b$ doit être compris pour que cette équation ait des racines.
- Quel que soit $b$, les racines sont liées par une relation, indépendante de $b$, qu’on demande de former.
- En déduire tous les couples de valeurs entières, positives ou négatives, tels que $y$ prend la même valeur quand on donne à $x$ les valeurs d’un même couple.

Étant donné un triangle $ABC$, démontrer que le lieu géométrique des points $M$ du plan de ce triangle pour lesquels les distances $MA$, $MB$ et $MC$ vérifient la relation :

$$\overline{MA}^2=\overline{MB}^2+\overline{MC}^2\qquad (1),$$
est une circonférence.
Réciproquement, étant donnée une circonférence $\cal C$ de centre $O$ et de rayon $R$, démontrer qu’il existe dans le plan de cette circonférence une infinité de triangles $ABC$ tels que les distances $MA$, $MB$ et $MC$ d’un point quelconque $M$ de cette circonférence aux trois sommets du triangle $ABC$ vérifient la relation (1).
Connaissant la position de l’un de ces sommets, trouver le lieu géométrique des deux autres sommets, le lieu du point de concours des médianes du triangle $ABC$, du point de concours des hauteurs, du centre du cercle circonscrit. Le sommet donné peut-il être un point quelconque du plan ?
Connaissant la position du milieu d’un des côtés du triangle $ABC$, trouver le lieu géométrique des sommets du triangle.

Même question en supposant connu le centre du cercle circonscrit.