Ecoles Normales Supérieures de Fontenay et St Cloud

Michel Fréchet

Arithmétique et Algèbre

$n$ étant un nombre entier positif, on considère la fraction :

$$\frac{n^2-n+41}{n^2+n+17}$$

  1. Comparer, suivant les valeurs de $n$, cette fraction au nombre 1 puis au nombre 3.
  2. Montrer que la fraction se simplifie quand le reste de la division de $n$ par 173 est égal à 12.
  3. $x$ étant un nombre algébrique, qui peut prendre toutes les valeurs possibles, on considère l’expression :

$$y=\frac{x^2-x+41}{x^2+x+17}$$

    • Les valeurs de $x$ pour lesquelles $y$ est égal à un nombre donné $b$ sont les racines d’une équation du second degré.
    • Calculer à 0,01 près les limites entre lesquelles $b$ doit être compris pour que cette équation ait des racines.
    • Quel que soit $b$, les racines sont liées par une relation, indépendante de $b$, qu’on demande de former.
    • En déduire tous les couples de valeurs entières, positives ou négatives, tels que $y$ prend la même valeur quand on donne à $x$ les valeurs d’un même couple.

Géométrie

  1. Étant donné un triangle $ABC$, démontrer que le lieu géométrique des points $M$ du plan de ce triangle pour lesquels les distances $MA$, $MB$ et $MC$ vérifient la relation :

    $$\overline{MA}^2=\overline{MB}^2+\overline{MC}^2\qquad (1),$$

    est une circonférence.
  2. Réciproquement, étant donnée une circonférence $\cal C$ de centre $O$ et de rayon $R$, démontrer qu’il existe dans le plan de cette circonférence une infinité de triangles $ABC$ tels que les distances $MA$, $MB$ et $MC$ d’un point quelconque $M$ de cette circonférence aux trois sommets du triangle $ABC$ vérifient la relation (1).
  3. Connaissant la position de l’un de ces sommets, trouver le lieu géométrique des deux autres sommets, le lieu du point de concours des médianes du triangle $ABC$, du point de concours des hauteurs, du centre du cercle circonscrit. Le sommet donné peut-il être un point quelconque du plan ?
  4. Connaissant la position du milieu d’un des côtés du triangle $ABC$, trouver le lieu géométrique des sommets du triangle.

Même question en supposant connu le centre du cercle circonscrit.