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Les problèmes du BV 514

Et solutions des problèmes n°503-3, 504-1 et 504-2

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 514-1 (Michel Lafond)

Un hexagone ayant un centre de symétrie est inscrit dans un cercle. On mesure en centimètres les distances d’un point M du plan à cinq sommets de l’hexagone. Ces distances, arrondies à l’entier le plus proche sont, par valeurs croissantes :

$$21, 53, 69, 97 \, \text{et} \, 118.$$

Calculer à 1 cm près la distance de M au sixième sommet.

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Problème 514-2
Soit $ f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivable. On suppose que pour tout $x \in \mathbb{R} $, $f'(x) = f(x - 1) $ et que $f$ est bornée. Montrer que $f$ est nulle. Étudier cet énoncé en prenant ensuite une fonction dérivable $ f : I \rightarrow \mathbb{R}$ où $ I$ n’est pas l’intervalle $\mathbb{R}$ tout entier.

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Problème 514-3 (Jean-Pierre Friedelmeyer)

Un cercle $(0)$ osculateur en un point A d’une parabole $(P)$ d’axe $(d)$ recoupe celle-ci en un unique point B. Démontrer que les angles que font (OA) et (OB) avec l’axe $(d)$ vérifient

$$ (d,OB) ≡ −3(d,OA) \quad \text{mod} \, \pi .$$

Un cercle $(0)$ coupe une parabole $(P)$ d’axe $(d)$ en quatre points A, B, C, D.
Démontrer que

$$(\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OA}) +(\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OC}) +(\overrightarrow{d}, \overrightarrow{OD}) \equiv 0 \quad \text{mod}\, \pi, $$

la droite $(d)$ étant orientée arbitrairement.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 503-3

On considère un entier $n \in \mathbb{N*}$ , un nombre premier $p \geq 3$ et un sous-groupe fini G du groupe $GL_{n} (\mathbb{Z})$ des matrices inversibles de taille n à coefficients entiers. Enfin, $\mathbb{F}_{p}$ est le corps $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$.
Montrer que l’application naturelle $ \left\{ \begin{array}{1} G \rightarrow G L_{n}(\mathbb{F}_{p}) \\ A \mapsto A \quad \text{mod} \, p \end{array} \right. $ est injective.

Commentaires et solution de Jean-Philippe Cortier

Problème 504-1 (Moubinool Omarjee, Lycée Henri IV , Paris)

On note $\lfloor \quad \rfloor $ la fonction partie entière et, pour $n \in \mathbb{N*}$ , $p_n$ est le $n$-ième nombre premier.
Étudier la nature de la série

$$ \sum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^{\lfloor n\sqrt{2}\rfloor}}{p_n}.$$

Réponses de Moubinool Omarjee (Paris) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

Problème 504-2 (Ghali Lalami (Marrakech))

Trouver tous les $n \in \mathbb{N}$ tels que $3 ^{n} -2 $ soit un carré parfait.

Réponses de Maurice Bauval (Versailles) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

- Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)