Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 501–1 (Franck Gautier, Pérignat lès Sarliève)

Montrer que le produit de huit entiers consécutifs non nuls ne peut être un carré parfait.

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Problème 501–2 (Michel Lafond, Dijon)

Soit \(c \in \mathbb{N}\) et K la suite définie par

$$K_0= 0, K_1= 1\ \text{ et pour } n \ge 2 \ \ K_n= (c - 2)K_{n-1}- K_{n-2}+ 2.$$

Montrer que si c est un carré parfait, alors tous les \(K_n\)
sont des carrés parfaits.

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Problème 501–3

Soit p un nombre premier. Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) , on note \(a_n\)
le nombre d’éléments d’ordre p du groupe symétrique \(S_n\). Calculer la série entière

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_n}{n !} x^n.$$

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 493–3 (Michel Lafond)

Pour un entier strictement positif n, on note \(p_n\) la probabilité pour que, dans le système décimal, deux nombres entiers à n chiffres (dont l’écriture ne commence pas
par 0), choisis indépendamment, au hasard, aient un produit ayant 2n chiffres.

Étudier \(p_n\). En particulier, montrer que

$$p_n=\frac{10}{81}(9-ln(10) \pm 3\times10^{-n})$$

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Michel Lafond termine en donnant les premières valeurs (exactes et approchées) des \(p_n\). Il conjecture également que, pour tout \(n \in \mathbb{N}, p_n<\frac{10}{81}(9-ln(10))\)

Problème 494–1

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(P \in \mathbb{Z}[X]\) tels que l’équation

$$|P(k)|=1$$

admette n racines distinctes dans \( \mathbb{Z}\). Montrer que

$$n-\text{deg(P)} \le 2$$

Solutions de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Jean-Claude Carréga (Lyon), Raymond Heitz (Piriac) et Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

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Jean-Claude Blanchard, Raymond Heitz et Pierre Renfer ont proposé un tel polynôme (founissant un cas d’égalité). Ces polynômes correspondent aux cas r = 0 ou r = 1. Enfin, Raymond Heitz propose d’élargir la question à l’anneau \(\mathbb{Z} [i]\) : pour
\(P \in \mathbb{Z} [i][X]\), si l’équation \(|P(z)|=1\) admet n solutions dans \(\mathbb{Z} [i]\), trouver une majoration de n − deg(P). Avis aux amateurs.

Problème 494–2 (Question de Jean-Christophe Laugier)

Démontrer, de manière combinatoire si possible, l’égalité suivante, valable pour tous les entiers n, k supérieurs ou égaux à 1 :

$$\sum_{\substack{u_1+u_2+...+u_k=n \\ u_1,u_2,...u_k \in \mathbb{N}^*}}^{n} u_1u_2...u_k=\binom{n+k-1}{2k-1}$$

Solutions de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean-Christophe Laugier (Rochefort), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

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