Exercices de-ci de-là du BV 518

et solutions des 516-1, 516-2, 516-3 et 516-4

Bruno Alaplantive

Résumé de l’article

Quatre exercices nouveaux sont proposés.
Le premier porte sur les probabilités au sujet de la numérotation des sommets d’un cube.
Le second exercice, destiné aux élèves, est constitué de deux questions indépendantes : étude d’une suite arithmético-géométrique et comparaison des pourtours de deux configurations.
Le troisième exercice est celui de la recherche du rectangle d’aire maximale circonscrit à un rectangle donné.
Le dernier demande la détermination de la courbe plane dont l’équation polaire est donnée.
Les quatre exercices du BV 516 ont une solution publiée dans ce BV. Le premier concernait une curieuse égalité sur les racines carrées. Le second adressé aux élèves portait d’une part sur une égalité avec cinq carrés d’entiers consécutifs, d’autre part sur un début de pavage avec des carrés et des heptagones. Le troisième exercice concernait l’écriture décimale d’un cube ou d’un carré et enfin le quatrième et dernier exercice concernait une question de probabilité dans le triangle.

Exercices

Exercice 518 – 1 : Jean-Christophe Laugier – Rochefort

On numérote au hasard de 1 à 8 les sommets d’un cube. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas deux sommets adjacents portant des numéros consécutifs (1 et 8 sont considérés ici consécutifs) ?

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Exercice 518 – 2 : pour nos élèves

A – transmis par Raphaël Sinteff—Nancy

Soit la suite u définie par

$$ \left \{ \begin{array}{l} u_0 = 3 \\ \forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1} = 5 u_n + 8 \end{array} \right. $$

1. Pour n ≥ 2, déterminer les trois premiers chiffres en partant de la droite du terme général $u_ n$ .
2. Déterminer le nombre de chiffres du terme $u_{ 2016}$ .

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B – pioché de-ci, de-là
Pour lequel des ces deux assemblages de quatre disques unité, la ligne d’enceinte est- elle la plus courte ?

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Exercice 518 – 3 : Paul-Alain Bonvert – Alfa du Ginseng

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ étant donné, déterminer le plus grand rectangle circonscrit (en aire).

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Exercice 518 – 4 : Michel Lafond – Dijon Courbe en polaire

Soit $n > 2$ un entier.
On pose $\omega = \dfrac{\pi (n+2)}{2n}$ et on note $\lfloor x \rfloor$ la partie entière de $x$.
À quoi ressemble la courbe plane d’équation polaire

$$ \rho(\theta) = \dfrac{\sin \omega}{\sin \left( \omega - \theta + \dfrac{2\pi}{n}\lfloor \dfrac{n.\theta}{2\pi} \rfloor \right)} \theta\in [0, 2\pi] ?$$

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Solutions

Exercices

Exercice 516-1 Paul-Alain Bonvert – Alfa du Ginseng ils sont fous ces anglo-saxons !
Pour les nombres rationnels positifs l’écriture $a \dfrac{b}{c}$ du nombre $a + \dfrac{b}{c}$ ,dans laquelle $a$, $b$ et $c$ sont des entiers naturels avec $b \geq c$ permet la curieuse égalité suivante :

$$\sqrt {2 \dfrac{2}{3}}= 2 \sqrt{\dfrac{2}{3}}.$$

Donner une méthode de génération d’autres exemples pour lesquels $\sqrt {a \dfrac{b}{c}}= a \sqrt{\dfrac{b}{c}}.$

Solution de Michel Sarrouy (Mende)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Daniel Văcaru (Pitești), Romain Charton (Besançon), Raphaël Sinteff (Nancy), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon).

Exercice 516-2 pour nos élèves

A – transmis par Vincent Thill
Peut-on trouver cinq entiers naturels consécutifs qui vérifient l’égalité

$$a^2 +b^2 +c^2 = d^2 +e^2 ? $$

B –

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On assemble alternativement des carrés et des heptagones réguliers comme le montre la figure ci-contre.
Si on poursuit cet assemblage en tournant toujours de la même façon, la boucle se fermera-t-elle exactement ?
(si oui, combien y aura-t-il de carrés ? d’heptagones ?)

Solution de Daniel Văcaru (Pitești) (A) et Maurice Bauval (Versailles) (B)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Michel Sarrouy (Mende), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Névez) , Jacques Chayé (Poitiers), Michel Lafond (Dijon).

Exercice 516-3 Jean-Christophe Laugier – Rochefort

1) Quel est le nombre maximal de chiffres égaux, distincts de zéro, pouvant terminer l’écriture décimale du carré d’un entier ?
2) Montrer que l’écriture décimale d’un cube peut se terminer par un nombre arbitraire de chiffres égaux, distincts de zéro.

Solution de Michel Lafond (Dijon)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Névez), Maurice Bauval (Versailles) .

Exercice 516-4 Izán Péraz – ?

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ABC est un triangle isocèle de sommet principal A tel que AH = BC où H désigne le pied de la hauteur issue de A.
Une droite traverse le triangle en coupant la base [BC] en D et l’un des deux autres côtés en E.
Quelle est la probabilité que DE soit supérieure ou égale à BC ?

Solution de Walter Mesnier (Poitiers)

Autres solutions :

Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Pierre Carriquiry (Clichy), Michel Lafond (Dijon), Bruno Alaplantive (Saint Jean du Falga).

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)