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Problèmes du BV 517

et solutions des problèmes 504-3, 506-1 et 506-2

Hochart Max

Résumé

L’article propose trois nouveaux exercices.
Le premier demande de démontrer une égalité avec une somme de puissance, partie entière et logarithme.
Le second cherche la racine exacte réelle positive d’un polynôme particulier de degré 8.
Le troisième concerne les polynômes à coefficients complexes qui induisent une surjection sur les rationnels.
Les problèmes suivants ont une solution publiée ici. Le premier, le n°3 du BV 504 recherchait des carrés parfaits sous contrainte. Le second, n°1 du BV 506 concernait l’étude d’un problème de divisibilité par 8 et enfin, le n°3 du BV 506 s’agissait de trouver une fonction dont les images répondent à une condition.
Erratum de numérotation : la solution du dernier est celle du n°2 du BV 506. La solution du n°3 du BV 506 est publiée dans le BV 518.

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 517-1 (Michel Lafond) (Dijon)

On note $\lfloor \quad \rfloor$ la fonction partie entière. Montrer que pour tout entier $n \geq 2$

$$ \sum_{k=2}^{n} \left \lfloor n^{1/k} \right \rfloor = \sum_{k=2}^{n} \left \lfloor \dfrac{\ln(n)}{\ln (k)} \right \rfloor .$$


voir le BV où est publiée la solution

Problème 517-2 (Michel Lafond) (Dijon)
Trouver la valeur exacte de la solution réelle positive de l’équation

$$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=144. $$


voir le BV où est publiée la solution

Problème 517-3
Trouver tous les polynômes $P \in \mathbb{C}[X]$ induisant une surjection de $\mathbb{Q}$ sur $\mathbb{Q}$ .
voir le BV où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 504-3 (Franck Gautier, Pérignat Lès Sarlieves)
On désigne par $ D = B(0,1)$ le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 du plan. Pour un chemin $\Phi : \left \{ \begin{array}{ccc} [0,1] & \rightarrow & D \\ t & \mapsto & (x(t), y(t))\\ \end{array} \right.$ de classe $\mathcal{C}^1$ , on définit l’énergie de $\Phi$ par

$$ E(\Phi ) = \int_{0} ^{1} \dfrac{x'(t)^2 +y'(t)^2}{\left( 1-x(t)^2 - y(t)^2 \right) ^2}\, dt. $$

Déterminer l’ensemble des chemins reliant le centre $0$ à un point $M_{0} \in D$ qui minimisent cette énergie.

Solutions de Franck Gautier (Pérignat Lès Sarlieves) et Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Problème 506-1 (Jean-Louis Trinquand, Clermont-Ferrand)
Soit $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ telle que $f(1) > 0 $ et pour tous $m, n \in \mathbb{N }$,

$$ f(m^2+n^2)= f(m)^2 +f(n)^2. $$

Trouver f.

Solution
Solutions de Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Bernard Collignon (Coursan), Moubinool Omarjee (Lycée Henri IV, Paris), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)
Remarque Ce sujet a été posé au Concours Général de Mathématiques de 1994.

Problème 506-2 (Michel Lafond, Dijon)
Montrer que l’on définit une bijection de $\mathbb{N}^3$ dans $\mathbb{ N}$ en posant

$$f(a,b,c)=\dfrac{1}{6} \left( (a+b+c)^3 +3(a+b+c)^2 +3(b+c)^2 +2a+5b+11c\right) . $$

Solution
Solutions de Maurice Bauval (Versailles), Bernard Collignon (Coursan), Marie- Nicolas Gras (Le Bourg d’Oisans), Jean Gounon (Chardonnay), Michel Lafond (Dijon) et Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

- Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)