1922

 

 

  • Examens des bourses des Lycées et Collèges de jeunes filles, 1922

    1re Série (pour entrer en 1e année) : La récolte d’un champ de blé est achetée 430 francs avant d’être coupée. La moisson fournit 221 gerbes et nécessite 3 heures de travail d’une moissonneuse à 4 fr. 90 l’heure. Le transport et le battage coutent ensemble 41 fr. 50. Sachant que 5 gerbes produisent 25 litres de grain, calculer le prix de revient d’un hectolitre de blé. Un éleveur vend 3 bœufs et 20 moutons, et fait sur cette vente un bénéfice total de 1250 francs. Sur un bœuf, il gagne 10 fois plus que sur (...)

  • Examens des bourses des lycées et collèges de garçons, 1922

    1re Série A et B (pour entrer en sixième) : Un marchand achète 7 barils d’huile d’olive de chacun 120 littres au prix de 950 francs les 100 kilogrammes. Il met cette huile dans des bidons contenant chacun 1 décalitre. Mais il a, sur les 7 barils, un déchet de 20 litres. Il revend l’huile à raison de 105 francs le bidon. Quel sera son bénéfice si un litre d’olive pèse 0 kg 915 ? Un hôteleir achète 8 barriques de vin pour une certaine somme. Si chaque barrique avait coûté 150 francs de moins, il aurait pu (...)

  • Baccalauréat, Aix-Marseille, 1922

    Étant donnée une demi-circonférence de diamètre \(AB=2R\), on prend sur le prolongement du diamètre au delà du point \(B\), un point \(C\) tel que \(BC=2R\).
    Un point \(M\) parcourt la demi-circonférence, soit \(P\) sa projection sur \(AB\) ; on pose \(AP=x\). On fait tourner la figure autour de \(AC\). Évaluer en fonction de \(R\) et de \(x\) les volumes \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) engendrés respectivement par les triangles \(AMP\), \(CMP\), \(BMP\). Vérifier que \(V_2-V_1=2V_3\). Étudier la (...)

  • Baccalauréat, Alger, 1922

    On donne deux demi-droites parallèles \(Ax\) et \(By\) perpendiculaires sur \(AB\) (d’un même côté de \(AB\)) ; et sur \(AB\) un point fixe \(p\) entre \(A\) et \(B\). (\(PA=a\), \(BP=b\)). On prend sur \(Ax\) et \(By\) deux segments \(AA’=x\) et \(BB’=y\). \’Etudier la variation de l’angle \(\theta=A’PB’\) quand les deux segments varient de telle manière que \(xy=m^2\) (\(m\) étant une longueur donnée). Indiquer la nature de l’angle \(\theta\) et déterminer le maximum ou le minimum de cet angle. \(AB\) (...)

  • Baccalauréat, Besançon, Série C, 1922

    Étant donné dans un plan un triangle \(OAB\), dont un des deux angles à la base \(AB\) est obtus (\textitl’angle \(A\) d’après la figure), on déplace un mobile \(P\) sur la droite \(Oz\) perpendiculaire au plan de ce triangle et l’on considère l’angle \(APB=V\) et sa tangente trigonométrique ; celle-ci étant regardée comme une fonction de la distance \(OP=z\). Calculer la dérivée de cette fonction par rapport à cette variable. En déduire la condition pour que l’angle \(APB\) décroisse immédiatement dès (...)

  • Baccalauréat, Besançon, Série D, 1922

    Étant donnés un plan \(P\) et deux points \(A\) et \(B\) situés d’un même côté et hors de ce plan. Trouver le lieu géométrique des points où les sphères passant par \(A\) et \(B\) et tangentes au plan \(P\) touchent ce plan. Déterminer celle de ces sphères dont le point de contact fourni le point du plan \(P\) duquel on voit le segment \(AB\) sous l’angle le plus grand possible.

  • Baccalauréat, Bordeaux, 1922

    Soit \(a\) un angle compris entre \(\dfrac3\pi2\) et \(2\pi\) et tel que \(\texttg^2a=2\).
    Calculer, sans se servir de tables de logarithmes, \(\texttg\dfraca2\), \(\sin\dfraca2\).

  • Baccalauréat, Caen, Série C, 1922

    Dans une demi-circonférence donnée de rayon \(R\), limitée par le diamètre \(AB\), on mène une corde parallèle à ce diamètre ; soient \(C\) et \(D\) les extrémités de la corde, \(O\) le point milieu de \(AB\), \(P\) le pied de la perpendiculaire menée de \(O\) sur \(CD\).
    Désignant par \(x\) l’angle \(POD\), et posant \(\sin x=t\), on exprimera en fonction de \(R\) et de \(t\) le volume engendré par la révolution de l’aire du trapèze convexe \(ACDB\) autour de \(AB\) ; puis, supposant variable l’angle (...)

  • Baccalauréat, Caen, Série D, 1922

    On considère, dans le plan, un segment rectiligne de longueur \(l\) ; par les deux extrémités, \(A\), \(B\), du segment, et par un point \(M\), pris sur lui entre \(A\) et \(B\), on mène la droite \(AB\), et d’un même côté de cette droite, trois perpendiculaires sur lesquelles on prend respectivement les longueurs
    $$AC=AM,\ MD=AM,\ BE=2MB,$$
    puis on joint \(CD\) et \(DE\).
    Variation de la longueur de la ligne brisée \(ACDEB\) lorsque le point \(M\) prend toutes les positions possibles entre (...)

  • Baccalauréat, Clermont, 1922

    Un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) \(ABCD\) a deux arêtes opposées \(AB\) et \(CD\) horizontales et de même longueur \(a\) ; leur plus courte distance est \(h\) ; en outre, ce tétraèdre se projette sur un plan horizontal suivant un carré \(ADBC\).
    Calculer la surface \(S\) totale et le volume \(V\) de ce tétraèdre. \’Etudier les variations du rapport \(\dfracVS\) quand \(a\) restant fixe, \(h\) varie.
    (On pourra, d’une part, ramener les variations de \(\dfracVS\) à celles de son carré, (...)

  • Baccalauréat, Dijon, 1922

    Un point \(M\) se déplace sur un quart de cercle \(AB\) de centre \(O\) et de rayon \(R\). Calculer en fonction de l’angle \(AOM=x\) la somme \(y\) des aires des segments sous-tendus par les cordes \(MA\), \(MB\). Variations de \(y\). Déterminer \(M\) de façon que \(y\) ait une valeur donnée \(\dfrackR^22\). Discuter.
    (Le candidat pourra donner une solution géométrique).

  • Baccalauréat, Grenoble, 1922

    On donne deux sphères qui se coupent. Soit \(OO’\) le diamètre commun ; soient \(P\) et \(P’\) les deux extrémités de ce diamètre appartenant à l’une des sphères et intérieures à l’autre ; Calculer la surface \(S\) limitant le solide commun aux deux sphères, en fonction des rayons \(R\) et \(R’\) supposés donnés et de la distance \(PP’=x\). On suppose \(R’=3R\) et on pose \(S=4\pi Ry\). \’Etudier la variation de la fonction \(y\) de \(x\) ainsi définie, quand \(x\) varie de \(-\infty\) à \(+\infty\).
    Tracer (...)

  • Baccalauréat, Lille, 1922

    Dans un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), on connait l’hypoténuse \(BC=a\). Calculer les côtés de l’angle droit \(b\), \(c\), sachant que si l’on fait tourner le triangle autour de la parallèle à l’hypoténuse menée par \(A\), l’aire engendrée par les côtés \(AB\) et \(AC\) est égale à \(k\) fois l’aire engendrée par l’hypoténuse.
    Entre quelles limites doit être compris le rapport \(k\) pour que le problème soit possible, c’est-à-dire qu’il existe effectivement un triangle répondant aux conditions ? (...)

  • Baccalauréat, Lyon, 1922

    Sur un demi-cercle de diamètre \(BC=2R\), on considère un point \(A\) qui se projette en \(H\) sur \(BC\). Soient \(BH=x\) et \(V\) ke volume engendré par le triangle \(ABH\) tournant autour de \(BC\). Évaluer \(V\) en fonction de \(x\) et de \(R\). Étudier la variation de la fonction \(y=2x^2-x^3\). Construire la courbe représentant cette variation. Trouver à l’aide de ce qui précède, en supposant \(R=1\), le nombre de positions de \(A\) pour lesquelles \(V\) prend une valeur donnée (...)

  • Baccalauréat, Montpellier, 1922

    On donne deux cercles tangents intérieurement au point \(A\), l’un de centre \(O\) et de rayon \(R\sqrt3\), l’autre de centre \(O’\) et de rayon \(R\). Soient \(AP\) une corde du cercle \(O\), \(AQ\) une corde du cercle \(O’\) perpendiculaire à la précédente.
    Déterminer l’angle \(OAP=x\) de telle façon que \(AP+AQ=2Rm\), où \(m\) désigne un nombre positif donné. Discuter. Valeurs de \(x\) pour les valeurs remarquables de (...)

  • Baccalauréat, Nancy

    On donne l’équation :
    $$(m-1)\texttg^2x+2m\texttgx+m+7=0$$
    où \(m\) désigne un nombre constant susceptible de prendre toutes les valeurs possibles. Pour quelles valeurs de \(m\) cette équation a-t-elle des racine ? Pour quelles valeurs de \(m\) les deux valeurs qu’elle donne pour \(\texttgx\) sont-elles de signes contraires ? Quelle valeur particulière doit-on donner à \(m\) pour que l’on ait entre deux solutions \(x’\) et \(x’’\) de l’équation la relation \(x’=x’’+\dfrac\pi2\).
    Déterminer dans (...)

  • Baccalauréat, Paris, Série D

    On donne une pyramide à base carrée \(SABCD\) dont l’arête \(SA\) est perpendiculaire au plan de la base. On trace dans le plan de la base une droite \(MN\) parallèle à la diagonale \(BD\) et située entre le point \(A\) et le point \(O\) de rencontre des diagonales et par \(MN\) on mène un plan parallèle à \(SA\). — Soient \(BD=2d\), \(SA=3d\), \(AL=x\).
    La figure montre le point \(I\) à l’intersection de \(MN\) et de \(OA\). Calculer \(AI=x\) pour que l’aire de la section \(MNPQR\) faite dans la (...)

  • Baccalauréat, Paris, Série C.

    On donne un angle droit \(xOy\) et on marque à son intérieur un point \(A\). On désignera la longueur \(OA\) par \(a\) et l’angle \(xOA\) par \(\theta\). On mène par le point \(A\) la perpendiculaire à \(OA\), elle coupe \(Ox\) en \(B\) et \(Oy\) en \(C\). Calculer en fonction de \(a\) et de \(\theta\) l’expression \(\dfrac1\overlineOB^2+\dfrac1\overlineOC^2\). \’Etudier l’aire du triangle \(OBC\) lorsque \(a\) restant constant \(\theta\) varie. Calculer \(\theta\) de manière que \(OB+OC=m.BC\), (...)

 

 

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