Exercices
Exercice 493-1 (Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé)
Voici un trièdre trirectangle composé de trois miroirs. Un rayon lumineux se réfléchit sur les trois faces
successivement. Que dire du dernier rayon réfléchi ?
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 493-2 (Raphaël Sinteff – Nancy) Soit la suite $(u_n)$ d’entiers naturels définie par $u_0 \in \mathbb N*$, pour tout n entier naturel non
nul, et $u_n+1= \left\ \beginarrayl \fracu_n2 \text si $u_n$ est pair \\ u_n+3 \text (...)

Exercices
Exercice 497-1 (Daniel Reisz – Auxerre) à proposer à nos élèves Dans une feuille de papier on découpe un trou circulaire de 3cm de diamètre. Peut-on y faire passer une pièce de 4cm de diamètre ? Les équations $ax^2+ bx + c = 0, cx^2 + ax + b = 0$ et $bx^2+ cx + a = 0$ peuvent-elles avoir toutes les trois deux racines réelles ? Pour un nombre réel x, on note $\lfloor x \rfloor$ sa partie entière (le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x) et on note sa partie décimale $\x\$. (...)

Exercices
Exercice 499-1 piochés de-ci, de-là… à proposer à nos élèves A. Trois carrés sont placés côte à côte à l’intérieur d’un triangle rectangle, comme le montre la figure ci-contre. Le plus petit carré mesure 16 mm de côté et le côté du plus grand 36 mm. Combien mesure le côté du carré du milieu ? B. Les segments [BE], [CE], [AF] et [BF] partagent le rectangle ABCD ci-contre en plusieurs régions. Quatre d’entre elles sont ombrées, deux triangles et deux quadrilatères. Leurs aires (...)

Exercices
Exercice 496-1 (Pierre de Fermat – Beaumont de Lomagne)
Sur la figure ci-contre, le rectangle ABCD est tel que $AB=\sqrt 2 AD$ À partir d’un point M du demi-cercle de diamètre [AB] extérieur au rectangle, on construit les segments [MC] et [MD]. Les points X et Y sont leurs intersections respectives avec le côté [AB]. Prouver que $AX^2 + YB^2 = AB^2$ .
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 496-2 (Daniel Reisz – Auxerre) d’après un exercice proposé (...)

Exercices
Exercice 498-1 (Un problème de lieu) Olympiades soviétiques 1966
On considère un triangle ABC d’un plan $\mathcalP$ , un point M de l’espace n’appartenant pas à $\mathcalP$ et son projeté orthogonal H sur $\mathcalP$ . Le point M est tel que MH est la plus petite des quatre hauteurs du tétraèdre ABCM. Déterminer le lieu de H.
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 498-2 (Daniel Reisz – Auxerre)
On joue 20 fois à pile ou face et on obtient : $$00\ 11\ 0000\ 1\ 0\ 11\ 00000\ 1~(...)

Exercices
Exercice 500-1. On n’a pas tous les jours 100 ans (Heu …, c’est tous les combien déjà ?)
La figure 0 correspond à une affiche de 2010. Chaque année l’APMEP se plie en quatre pour promouvoir l’enseignement des maths. Le pliage est celui qui correspond aux figures successives. Un qui n’y voit pas plus loin que le bout de son nez, dirait volontiers que l’association va y perdre son âme et donnerait la figure 9 en exemple. Sottise ! Les figures 16 et 17 montrent bien que les apparences étaient (...)

Exercices
Exercice 501-1 Michel Lafond-Dijon
Le rectangle IJKL est partagé en huit domaines. (Voir figure approximative ci-contre)
On connaît : aire (CNK) = 104, aire (AMI) = 9 et aire (BMJN) = 143
Déterminer les aires des cinq autres domaines.
Il s’agit d’un prolongement de l’exercice 499-1 B, qui ne s’adresse plus vraiment directement aux élèves…
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 501-2 Daniel Reisz – Auxerre à proposer à nos élèves
A. Un trapèze ABCD est circonscrit à (...)

Exercices
Exercice 479-1 (Pierre Renfer – Ostwald)
J’ai trouvé sans démonstration, dans l’excellent livre « Les nombres remarquables » de François Le Lionnais, que 59 était le nombre de régions découpées dans l’espace par les plans des faces d’un octaèdre régulier. Comment le prouver ? Pierre Renfer vous propose cet exercice (qu’il a bien sûr résolu).
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 479-2 (Jean Théocliste – Valence)
On considère l’équation $$9x^4 - 14x^2 + 8x - 1 = 0 \ \ \ \ \ (E)$$ 1) (...)

Exercices
Exercice 476-1 (Maurice Bauval – Versailles) À propos de l’exercice 473-4. On donne les trois distances a, b, c de l’orthocentre P aux trois sommets du triangle ABC. On suppose le triangle acutangle. Calculer les longueurs des trois côtés BC,CA et AB du triangle.
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 476-2 (Frédéric de Ligt – Montguyon) – Corol’aire no 67
On a l’identité $(n+2)n+1=(n+1)^2$ ; cela suggère l’idée de s’intéresser aux suites $(a_n)$ qui vérifient $a_n+2a_n=a^2_n+1$. (...)

Exercices
Exercice 482-1 Ce premier exercice provient d’archives que possédait Henri Bareil. Il est issu de la revue mensuelle de variétés scientifiques Le Facteur X, no 68 de février 1961. Cette revue, à laquelle Gilbert Walusinski prêtait sa plume, proposait des « problèmes à chercher (un peu) tout seul ». En voici donc un, modeste, dont le caractère un tant soit peu désuet à l’ère de l’euro, ne doit pas dissuader d’un traitement moderne. Au contraire ! Reprenant la rubrique, je souhaitais rendre hommage (...)

par Serge Parpay Exercices
Exercice 475-1 (C.D. Olds. Continued fractions (1963))
1) Décomposer 433 en une somme de deux carrés. 2) Soit deux détachements de soldats, chacun de ces détachements formant un carré de b rangs de b soldats. Montrez qu’il est impossible de former avec les deux carrés un unique carré de soldats.
Montrer que, si un soldat est ajouté ou enlevé à l’un des deux carrés, il est parfois possible que les deux détachements soient regroupés en un seul carré de soldats.
voir (...)

Cette rubrique est faite à partir des propositions de collègues. Elle accueille bien volontiers des exercices même « modestes » mais un peu curieux imaginés ou rencontrés par les collègues soit dans des livres, soit dans des situations exploitées dans leurs classes. N’hésitez donc pas à nous envoyer les exercices piochés « de-ci de-là » qui vous ont plu ou vous ont intrigués. Nous les accepterons avec plaisir et en particulier ceux qui pourraient être mis à la portée d’élèves du secondaire.
Les (...)

Exercices
Exercice 487-1 : Daniel Reisz – Auxerre (d’après la Compétition mathématique des pays Baltes 2004)
Soit un rectangle ABCD de dimensions $3 \times 4$. Sur chaque coté on choisit un point. Ces quatre points sont les sommets d’un quadrilatère convexe dont les cotés mesurent $x$, $y$, $z$ et $t$. Encadrer au mieux la somme $x^2 + y^2 + z^2 + t^2$.
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 487-2 : Pythagore sans les carrés... ?
Démontrer que : dans un triangle rectangle, la somme des (...)

Exercices
Exercice 484-1 (Georges Lion – Wallis) A, B et C sont trois points non alignés tels que AB = AC. I est le milieu de [BC] et $C$ le cercle de centre I tangent à (AB) et (AC). M $\in$ [AB] et N $\in$ [AB] sont tels que (MN) est tangente à $C$. Démontrer la relation : $BM \times CN=BC^2 \over 4$
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 484-2 (Daniel Reisz – Auxerre) D’après un exercice proposé à l’olympiade suisse de 2005 Tailler un polygone convexe c’est lui couper un coin, un (...)

Exercices
Exercice 488-1 : Bruno Alaplantive – Calgary L’association maintient le cap : Pour les maths !
$CAP \over PLM=.APMEP\ APMEP \ APMEP ...$
Dans cette fraction et sa notation décimale, de période de longueur 5, chaque lettre représente un chiffre différent. La notation est à l’anglo-saxonne avec un point à la place de la virgule et le zéro n’est pas écrit. À l’instar de notre chère centenaire, la fraction est naturellement irréductible ! Déterminer la solution et son unicité.
voir (...)

Nouveaux exercices
Exercice 486-1 : un classique sous contrainte Construire le point M de (d) qui minimise MA+MB sans sortir du cadre.
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 486-2 : B. Lefebvre - Namur
Démontrer le critère de divisibilité par 7 suivant. Le reste de la division d’un nombre entier par 7 s’obtient par cette méthode peu connue : on multiplie le premier chiffre de gauche par 3, puis on ajoute le chiffre suivant ; on multiplie le résultat par 3, puis on ajoute le (...)