Exercices

Exercice 484-1 (Georges Lion – Wallis)
A, B et C sont trois points non alignés tels que AB = AC. I est le milieu de [BC] et \(C\) le cercle de centre I tangent à (AB) et (AC).
M \(\in\) [AB] et N \(\in\) [AB] sont tels que (MN) est tangente à \(C\).
Démontrer la relation : \(BM \times CN={BC^2 \over 4}\)

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Exercice 484-2 (Daniel Reisz – Auxerre)
D’après un exercice proposé à l’olympiade suisse de 2005
Tailler un polygone convexe c’est lui couper un coin, un sommet. De façon plus précise et plus mathématique, tailler un polygone convexe de n cotés consiste à choisir deux cotés consécutifs AB et BC et à les remplacer par les cotés AM, MN et NC où M et N sont deux points pris respectivement sur les cotés ouverts ]AB[ et ]BC[. On obtient ainsi un polygone convexe de (n + 1) cotés d’aire plus petite que
celle du polygone initial.
Soit P(6) un hexagone régulier d’aire 1. On le taille arbitrairement et on obtient ainsi successivement des polygones convexes P(7), P(8), P(9), …
Montrer que l’aire de P(n) restera toujours supérieure à \({1 \over 2}\).

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Exercice 484-3 (Question du concours australien de mathématiques 2008)
transmis par Georges Lion
Les entiers positifs x et y vérifient \(3x^2 + 8y^2 + 3x^2y^2 = 2008\).
Quelle est la valeur de xy ?

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Exercice 484-4 (Question du concours australien de
mathématiques 2008)
transmis par Georges Lion
Quelle est la plus petite valeur que peut prendre

$$\sqrt{49+a^2-7a\sqrt 2}+\sqrt{a^2+b^2-ab\sqrt 2}+\sqrt{50+b^2-10b}$$

pour a et b nombres réels positifs ?

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Solutions

Exercice 478-1
Soit un point O, une droite (D) ne contenant pas O, H le projeté orthogonal de O sur (D). Soit une suite de points de (D), à droite de H : \(A_0, A_1,\) … tels que les cercles inscrits dans les triangles \(OA_iA_{i+1}\) ont tous le même rayon r. Il s’agit de prouver que
les cercles inscrits dans les triangles \(OA_iA_{i+n}\) ont le même rayon \(r_n\).

Nous avons donné une solution dans le Bulletin no 481. Une solution plus simple et qui permet d’obtenir une expression du n-ème rayon en fonction du rayon initial, nous a depuis été transmise par Claude Morin. Voici cette solution.

Exercice 480-1 (Daniel Reisz-Auxerre)
Que peut on dire de la suite des réels (\(u_n\)) vérifiant \(u_1=1\) et, pour tout m et n \(u_n-u_m \le { 2mn \over {m^2+n^2}}\) ?

Exercice 480-2 (Daniel Reisz-Auxerre)
Soit les deux fonctions \(f(x)=ax^2+bx+c\) et \(g(x)=cx^2+bx+a\) avec \(|f(0)| \le 1\), \(|f(-1)| \le 1\), \(|f(1)| \le 1\)
Montrer que pour tout x vérifiant \(|x| \le 1\) on a \(|f(x)|={5 \over 4}\) et \(|g(x)| \le 2\).

Exercice 480-3 (Daniel Reisz-Auxerre)
Quel élève n’a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d’écrire (fg)’ = f’g’ ?
Y a-t-il des fonctions pour lesquelles cette règle est vraie ? Que peut-on en dire ?

<redacteur|auteur=500>